Grupos prácticamente grandes de rango pequeño (relacionados con 3 variedades)
Estoy buscando una razón por la que un grupo de tres $G$ eso es virtualmente $\mathbb{Z}\times F$, $F$al ser libre no cíclico o un grupo de superficie, no admite presentación en dos generadores.
Estos son los grupos fundamentales de 3 variedades cerradas con $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometría (gracias @HJRW por señalar que el caso de tachado anterior corresponde a un límite no vacío), y resulta que todas las demás geometrías admiten ejemplos con un grupo fundamental de rango dos, con un resaltado notable de la geometría euclidiana donde todo fundamental los grupos son virtualmente $\mathbb{Z}^3$(y clasifique dos ejemplos que son las variedades de Fibonacci). Por lo tanto, los grupos de tres variedades admiten ejemplos de grupos de rango virtualmente alto que, sin embargo, son ellos mismos de rango pequeño. Por supuesto, es bien sabido que un grupo libre en dos generadores es virtualmente de rango arbitrariamente alto.
Sin embargo, según Boileau & Zieschang , Teorema 1.1, el rango de$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ variedades depende del género de la superficie de la base y el número de fibras singulares de la fibración de Seifert (y es al menos 3), por lo que prácticamente $\mathbb{Z}\times F$ obliga al grupo a tener al menos el mismo rango.
¿Cuál es la causa de que este subgrupo delimite el rango del grupo ambiental desde abajo y, digamos, grupos libres o abelianos libres? $\mathbb{Z}^3$¿no hacer? Sería feliz si hubiera una razón geométrica tridimensional en juego aquí, pero también estaría agradecido por actualizar mi teoría general de grupos.
Respuestas
La pregunta surge de una mala interpretación del Teorema 1.1 en el artículo de Boileau y Zieschang. El teorema 1.1 excluye un buen número de casos, en particular, no se aplica a variedades de Seifert cerradas (totalmente orientadas) con 3 fibras singulares y base de género 0. Algunas de estas variedades de Seifert excluidas proporcionan contraejemplos a su afirmación sobre el rango.$\ge 3$.
Por ejemplo, tome el exterior $N$ de un $(p,q)$- nudo toroidal que no es trivial y no el trébol. El género de este nudo es$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(porque excluí el trébol que tiene el género 1). El colector$N$ es un haz de superficie sobre el círculo cuya fibra $F$ es la superficie una vez perforada del género $g$. La monodromía de esta fibración es un orden finito (en realidad, el orden es$pq$) homeomorfismo $h: F\to F$. Por lo tanto, si colapsamos el límite de$F$ al punto, obtenemos una superficie cerrada $S$ de género $g$ y $h$ proyectará a un homeomorfismo de orden finito $f: S\to S$. El toro de mapeo$M=M_f$ es una variedad Seifert de tipo ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ obtenido por un relleno Dehn del límite de $N$. La base de la fibración de Seifert tendrá tres puntos singulares y género 0: Dos de las fibras singulares provienen de$N$ y uno proviene del toro sólido unido a $\partial N$como resultado de nuestro llenado Dehn. (Es un hecho general que el toro de mapeo de un homeomorfismo de orden finito de una superficie hiperbólica es una variedad Seifert de tipo${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Dado que el grupo $\pi_1(N)$ se genera en 2, el grupo cociente $\pi_1(M)$ también se genera en 2.