Integración constructiva $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ dentro $\mathbb{R}$

Dec 03 2020

Utilizando el axioma de elección se puede demostrar que $\mathbb{R}$ es isomorfo a $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. (Suponiendo AC, ambos espacios tienen una base de Hamel sobre$\mathbb{Q}$ de la misma cardinalidad y, por tanto, son isomorfos.)

Entonces mi pregunta es si tal isomorfismo entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ se puede construir sin aire acondicionado o, al menos, si podemos incrustar $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ dentro $\mathbb{R}$sin AC. (Por incrustar me refiero a la construcción de una inyección$\mathbb{Q}$-mapa lineal de un espacio al otro.)

Esto último equivale a preguntarnos si podemos construir un subespacio de $\mathbb{R}$ que tiene una base de schauder sobre $\mathbb{Q}$, ya que dicho subespacio debería ser automáticamente isomórfico a $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.

¡Gracias por la ayuda!

Respuestas

5 QiaochuYuan Dec 03 2020 at 20:37

De hecho, es consistente con ZF que no hay homomorfismos no triviales. $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. Citando una respuesta anterior donde surgió esto:

Hay un modelo de ZF construido por Shelah en el que cada conjunto de números reales tiene la propiedad Baire . Esto implica, si he entendido correctamente, que no hay homomorfismos distintos de cero de$\mathbb{R}$a cualquier grupo abeliano contable (dado que cualquier grupo abeliano contable con la topología discreta es un grupo polaco , por lo que en este modelo cualquier homomorfismo de$\mathbb{R}$a dicho grupo es automáticamente medible y, por lo tanto, automáticamente continuo). Entonces$\mathbb{R}$y $SO(2)$, no tienen subgrupos de índice contable en este modelo.

Esto no descarta la posibilidad de una incrustación explícita $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; No estoy seguro de una forma u otra de si tal cosa existe, pero apuesto a que no es así. Apuesto a que es consistente con ZF que cada mapa lineal$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ factores a través de la proyección a algún subconjunto finito de sus factores.