Integrado de forma compacta en $L^p(0,1)$ pero no es un subespacio de $C^0[0,1]$

Question

Por el teorema de Rellich-Kondrachov, se sabe que la incrustación $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ es compacto.

Por otro lado, por las desigualdades de Sobolev, uno también tiene $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (de hecho, incluso $C^{0,\frac{1}{2}}$ en este caso unidimensional, utilizando el teorema fundamental del cálculo y algunos argumentos de Cauchy-Schwartz).

Mi pregunta es si existe algún "subespacio intermedio" en el siguiente sentido.

Es decir, ¿existe un espacio de Hilbert? $H$ que está integrado de forma compacta en $L^p(0,1)$ para algunos $p\geq 1$, y que no es un subespacio de $C^0[0,1]$?

Answer 1

Sí, existen tales espacios de Hilbert y son un caso especial de espacios fraccionarios de Sobolev . Xa$\alpha\in(0,1/2)$ tenemos $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ por definición, y se puede demostrar que la función escalón que es $1$ en $(1/2,1)$ y $0$ más está en $H^\alpha(0,1)$. Dado que esta función no es continua,$H^\alpha(0,1)$ no incrusta en $C^0[0,1]$.

Ver también Prueba de que la función característica de un conjunto abierto acotado está en$H^{\alpha}$ si $\alpha < \frac{1}{2}$y ¿A qué espacios fraccionarios de Sobolev pertenece la función escalón? (Norma Sobolev-Slobodeckij de función escalonada) para más detalles.

También se sabe que $H^\alpha(0,1)$ incrusta de forma compacta en $L^2(0,1)$ para $\alpha\in (0,1/2)$. Esto se sigue del teorema 7.1 en este pdf .