Integrar contorno$\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Question

me gustaria integrar$\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$dónde$m$es un número entero.

Parece haber singularidades tanto reales$x = \frac{n\pi}{a}$e imaginario$x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

Esto parece sugerir que la integración del contorno es el camino a seguir.

Ahora no estoy seguro de cómo proceder de aquí en adelante.

Answer 1

Para$m>0$,$\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, por lo que la integral dada es una suma de cosas como$$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$donde, para un complejo$z$con$\Re z>-1$,$$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$con$\psi$la función digamma (la igualdad final se muestra como se hace aquí ). Si tuviéramos el seno en lugar del coseno en$\eqref{mainint}$, la$\psi$se reduciría debido a la fórmula de reflexión . Con el coseno en su lugar, estos no lo hacen, así como en el resultado final. Es por eso que no espero que la integración de contorno produzca nada útil.