Interpretación de la teoría monádica de los reales en la teoría monádica del orden lineal.
A continuación se muestra un extracto de Gurevich, Shelah: Interpretación de la lógica de segundo orden en la teoría monádica del orden . Estoy tratando de entender cómo la teoría monádica de la línea real es interpretable en la teoría monádica del orden (no incluyen ninguna explicación o prueba adicional, solo dicen que se puede hacer fácilmente).

Aquí hay algunas definiciones que pueden resultar útiles. Si$(\alpha,<)$ es un orden lineal entonces por 'la teoría monádica de $\alpha$'se entiende la teoría de primer orden de la estructura $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ dónde $<$ es el orden de $\alpha$dado en subconjuntos singleton. La 'teoría monádica del orden' es la intersección de todas estas teorías de primer orden según permitimos$\alpha$ para variar en todos los órdenes lineales.
¿Existe quizás algún conjunto recursivo de axiomas $T_{\mathbb{R}}$ tal que si tomamos la unión de la teoría monádica del orden con $T_{\mathbb{R}}$ obtenemos la teoría completa de la estructura $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (Cabe señalar que tanto la teoría monádica del orden como la teoría monádica de$\mathbb{R}$ son indecidibles).
No encuentro esta interpretación "fácil", pero siento que me estoy perdiendo algo obvio.
Respuestas
No veo cómo arreglar mi estrategia original - en particular, aunque no tengo un contraejemplo, sospecho que "es un orden lineal completo de Dedekind sin puntos finales o puntos aislados, todos cuyos subórdenes tienen cofinalidad y coinicialidad $\le \omega$" no necesariamente define$\mathbb{R}$ hasta el isomorfismo.
Sin embargo, todavía podemos obtener la reducción esperada (aunque de un vistazo esto no produce una interpretación per se, todavía estamos pensando en eso). Di que un orden lineal$A$ es $\mathbb{R}$ish si es Dedekind-completo y no tiene puntos finales o puntos aislados. La observación clave es la siguiente:
(Lema) Cada$\mathbb{R}$ish orden tiene un suborden isomorfo a $\mathbb{R}$, y cada $\mathbb{R}$ish suborden de $\mathbb{R}$ es isomorfo a $\mathbb{R}$.
El punto entonces es que $\mathbb{R}$se encuentra en la parte inferior de una clase de ordenaciones definibles por MSO en un sentido definible por MSO. Entonces podemos realizar la siguiente traducción:
(Definición) Para una sentencia MSO$\varphi$, dejar $\hat{\varphi}$ sea la oración de MSO "Cada $\mathbb{R}$ish orden tiene un $\mathbb{R}$ish suborden satisfaciendo $\varphi$. "
Por el lema tenemos que $\hat{\varphi}$ es parte de la teoría del orden MSO si $\mathbb{R}\models\varphi$:
Si $\mathbb{R}\not\models\varphi$ entonces $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, puesto que todos $\mathbb{R}$ish subórdenes de $\mathbb{R}$ son isomorfos a $\mathbb{R}$ según el lema y, por lo tanto, tampoco satisfacen $\varphi$.
Por el contrario, si $\mathbb{R}\models\varphi$ entonces cada $\mathbb{R}$Este orden lineal tiene un $\mathbb{R}$ish suborden satisfaciendo $\varphi$ - a saber, cualquier suborden isomorfo a $\mathbb{R}$ sí mismo, que se garantiza que existe según el lema.
El mapa $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ es claramente computable, por lo que obtenemos una reducción de $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ a la teoría monádica del orden como se desee.