Intuición de por qué una vecindad abierta de la identidad en un grupo de Lie genera todo el grupo de Lie
Intuición de por qué una vecindad abierta de la identidad en un grupo de Lie conectado genera todo el grupo de Lie.
editar: Creo que la prueba estándar de esto es mostrar que el subgrupo generado por cualquier vecindario abierto es un subgrupo abierto y cerrado de $G$ y así es todo $G$ ya que $G$está conectado. ¿Alguien puede explicarme darme una explicación más conceptual de por qué este resultado debe ser cierto?
Respuestas
Permítanme presentarles una prueba alternativa, que me suena más intuitiva, espero que les ayude. La prueba debería ser clara por sí sola, pero agregaré una explicación intuitiva detallada al final.
Un grupo de Lie conectado está conectado con la ruta.
Dejar $U$sé tu barrio. Hasta tomar$U\cap U^{-1}$, podemos asumir que $U$ es simétrico.
Dejar $\gamma : [0,1]\to G$ ser un camino desde $e$ a cualquier elemento $x$; y por cada$t\in[0,1]$, dejar $U_t$ ser un intervalo abierto suficientemente pequeño de $[0,1]$ conteniendo $t$ tal que $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$. Por supuesto, esto es posible, ya que$\gamma(t)U$ es un barrio de $\gamma(t)$.
Luego $\bigcup_t U_t = [0,1]$ así que por compacidad, hay $0<t_1<...<t_n<1$ tal que $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$.
Pero luego (con $t_0=0,t_{n+1}=1$), para cada $i$, $U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ debe contener algún elemento $s_i$ (esto es porque $[0,1]$ está conectado, y elegí intervalos).
Luego $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$.
$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$, y de manera similar, $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$.
Entonces $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$. Por supuesto, entonces podemos inducirnos$n$ y obtener eso $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$, pero eso es obvio: $x\in \langle U\rangle$.
Ahora, la intuición detrás de esta prueba es que si trazas un camino desde$e$ a $x$, por cada valor suficientemente pequeño de $\epsilon$, $\gamma(t)$ y $\gamma(t+\epsilon)$ solo diferirá en algo en $U$ (o $U^{-1}$).
Pero por la compacidad de $[0,1]$, el valor necesario de $\epsilon$ está limitado de alguna manera por debajo (así que obtenemos nuestra partición $t_1<...<t_n$), y esto nos permite hacer saltos lo suficientemente grandes mientras permanecemos en $U$, y así, en última instancia, permanecer en el subgrupo generado por $U$ si solo registramos los saltos.
Esto está relacionado con cómo $G$ es un espacio "uniforme": los espacios entre dos elementos pueden verse como espacios entre $e$y algún otro elemento; por lo que esto permite reducir muchas preguntas a preguntas locales sobre$e$