La condición de energía positiva en la teoría cuántica de campos para hamiltonianos asociada con diferentes vectores de Killing de tipo temporal

Aug 16 2020

El efecto Unruh es un ejemplo bien conocido en el que dos hamiltonianos $H$ y $\hat H$asociados con diferentes campos vectoriales de Killing de tipo temporal, ambos tienen un límite inferior, en la misma representación del espacio de Hilbert, aunque no están relacionados entre sí por ninguna isometría del espacio-tiempo. Esta pregunta se refiere a una generalización.

Considere una teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo plano, expresada en términos de operadores de campo que actúan en un espacio de Hilbert. Dejar$K$ y $\hat K$Ser dos campos vectoriales de Killing de tipo temporal diferentes, no necesariamente relacionados entre sí por ninguna isometría, y no necesariamente cubriendo todo el espacio-tiempo. (Como ejemplo, piense en las coordenadas de Rindler).$R$ ser la región del espacio-tiempo en la que se definen ambos campos vectoriales de Killing y considerar el álgebra de observables en $R$. Dejar$H$ y $\hat H$ ser los operadores (hamiltonianos) que generan traducciones de estos observables a lo largo $K$ y $\hat K$, respectivamente.

Pregunta: Suponga que el álgebra se representa en un espacio de Hilbert de tal manera que el espectro de uno de los hamiltonianos$H$tiene un límite inferior. ¿Implica esto que el espectro del otro hamiltoniano$\hat H$ también tiene un límite inferior (en la misma representación del espacio de Hilbert)?$^\dagger$

No estoy buscando una prueba a prueba de agua, solo un argumento convincente, algo lo suficientemente claro como para poder verificar cada paso en una teoría de campo libre.

Por cierto, en caso de que esto no sea familiar: la densidad hamiltoniana no es necesariamente definida positiva en la teoría cuántica de campos, ni siquiera en una representación donde la propia hamiltoniana es definida positiva. Véase Fewster (2005) "Desigualdades energéticas en la teoría cuántica de campos",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, que dice (página 2):

Se sabe desde hace mucho tiempo que los campos cuánticos violan todas estas condiciones de energía puntuales [4] y, en muchos modelos, la densidad de energía es ilimitada desde abajo en la clase de estados físicamente razonables.

$^\dagger$ La pregunta se refiere a cómo se representan los operadores en un espacio de Hilbert. Eso es importante porque$H$típicamente no tiene un límite inferior en la mayoría de las representaciones del espacio de Hilbert, incluso si lo tiene en una de ellas. La condición del espectro es una propiedad de una representación específica del espacio de Hilbert, no solo una propiedad del álgebra abstracta de observables.

Respuestas

4 ChiralAnomaly Sep 14 2020 at 05:25

La respuesta es no , e irónicamente, el ejemplo que usé para motivar la pregunta es en realidad un contraejemplo: el espectro del Hamiltoniano de Rindler no tiene un límite inferior.

El Hamiltoniano Rindler genera impulsos en el espacio-tiempo de Minkowski. Una expresión en términos del tensor de tensión-energía se muestra en la ecuación (25) en

  • Jacobson, "Agujeros negros y radiación de Hawking en el espacio-tiempo y sus análogos", https://arxiv.org/abs/1212.6821

Esa expresión deja en claro que el hamiltoniano de Rindler no puede tener un límite inferior.

En retrospectiva, esto es obvio por simetría. La inversa de un impulso es lo mismo que un impulso combinado con un reflejo espacial. Una reflexión espacial no cambia el espectro, pero la inversa cambia el signo del espectro. La única forma en que pueden ser iguales es si el espectro es simétrico alrededor de cero. Por lo tanto, si el espectro no tiene un límite superior, tampoco puede tener un límite inferior.


Notas:

  1. El artículo de Jacobson (citado anteriormente) considera sólo un hamiltoniano parcial obtenido mediante la integración sobre una "cuña de Rindler", pero esa superficie de integración no es una superficie de Cauchy. Para ver el hamiltoniano completo en una superficie de Cauchy, debemos considerar las cuñas de Rindler izquierda y derecha juntas, y luego es evidente que el hamiltoniano completo no puede tener un límite inferior.

  2. Tenga en cuenta que parte de la literatura sobre el efecto Unruh redefine tácitamente el nombre "estado de vacío" para que signifique algo diferente a "estado de energía más baja".

  3. Para un análisis cuidadoso de algunas sutilezas, consulte Requardt, "The Rigorous Relation between Rindler and Minkowski Quantum Field Theory in the Unruh Scenario", https://arxiv.org/abs/1804.09403

3 MicheleGrosso Aug 17 2020 at 19:56

En QFT (teoría cuántica de campos) la densidad lagrangiana $\mathcal L$está construido para ser invariante de Lorentz. Basado en el lagrangiano, construyes una densidad hamiltoniana$\mathcal H$, que se solicita que sea positivo definido.

Si cambia el sistema de referencia, formalmente el Lagrangiano no cambia, por lo tanto, el Hamiltoniano tampoco lo hará. En consecuencia, se mantendrá la definición positiva del hamiltoniano, incluso si se aplica a campos transformados.

3 AdolfoHolguin Sep 13 2020 at 09:45

Suponga que puede iniciar una aspiradora Minkowski $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Luego, para cualquier vector de Killing similar al tiempo (que consideraré que especifica una curva similar al tiempo o algún observador acelerado) podemos preguntar si hay vacío. Localmente, la región del espacio sobre la que se define el campo de exterminio se puede poner en forma de coordenadas de Rindler. En otras palabras, en cada instancia del tiempo adecuado sabemos cuál es la aceleración y la covarianza general nos dice que la física local es la misma que el espacio de Minkowski. Entonces, el vacío de Minkowski para este observador debería verse como un estado térmico, tal vez con una temperatura variable. En otras palabras, un observador acelerado siempre ve un horizonte efectivo al que se le puede asignar una temperatura, por lo que sus preguntas deben ser respondidas por el efecto Unruh.