¿La convergencia débil de medidas no atómicas a un límite no atómico preserva la continuidad absoluta?

Aug 20 2020

Dejar $\mu_n$, $\mu$ y $\nu$ ser medidas de Borel no atómicas en un espacio topológico de Hausdorff común, de modo que $\mu_n$ son absolutamente continuos con respecto a $\nu$. Tiene convergencia débil$\mu_n \to \mu$ (en el sentido de la teoría de la probabilidad, es decir, definido en términos de funciones continuas acotadas) implica que $\mu$ es absolutamente continuo con respecto a $\nu$?

Sin excluir los átomos, la respuesta es no, vea por ejemplo aquí .

Si la respuesta sigue siendo no en la situación no atómica anterior, ¿haría alguna diferencia suponer que todas las medidas son Borel o Radon regulares?

Respuestas

2 WoolierThanThou Aug 20 2020 at 14:13

Asume que tu espacio es $\mathbb{R}^2$, dejar $\mu$ ser la distribución uniforme en el círculo y dejar $\nu$sea ​​la medida de Lesbegue. Dejar$\mu_n$ ser la distribución uniforme en el anillo $B[0,1]\setminus B[0,1-1/n]$. Entonces$\mu_n$ es absolutamente continuo con respecto a $\nu$, pero $\mu_n\to \mu$enclenque. Como$\mu$ es compatible con un conjunto nulo, $\mu$ no es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lesbegue.

Tenga en cuenta que todas estas medidas son radón.