La dirección de la fuerza centrípeta en un movimiento circular vertical bajo gravedad uniforme
Considere el movimiento circular vertical de una masa puntual conectada al centro por una cuerda rígida. Aquí la gravedad uniforme$m\vec{g}$ hechos.
Ilustré la situación en el diagrama a continuación.
Aquí, si hacemos una suma vectorial de $\vec{T}$ y $m\vec{g}$luego obtenemos la fuerza centrípeta de una dirección extraña. Se supone que debe dirigirse hacia el centro, ¿no es así?
Descompondré aún más la gravedad en los componentes radial y tangencial. Vea abajo.
Entonces que pasa con eso $mg \sin \theta$¿componente? ¿No impide que el movimiento sea circular?
- Nota: Si trato de hacer que la fuerza neta se dirija hacia el centro, tengo que cambiar deliberadamente la dirección de la tensión, y eso me parece muy extraño ya que estamos considerando un objeto confinado por una cuerda. Entonces, si lo mantenemos "natural" (tensión hacia el centro), ¿podemos realmente decir que el objeto experimenta un movimiento circular?
- Otra pregunta: entiendo que en esta situación, como $mg \cos \theta$cambia la magnitud de la fuerza radial tiene que cambiar y, por tanto, la velocidad del objeto tiene que cambiar. ¿Estamos pensando en ello como un movimiento circular local donde para la velocidad$\vec{v}(t_1)$ en un momento determinado $t=t_1$, la fuerza centrípeta $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ solo es válido para el intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño $[t, t + dt]$?
- Resumiendo las dos preguntas anteriores, podemos considerar cuándo el objeto está en la parte superior o inferior. Entonces no tenemos que pensar en los componentes de las fuerzas, ya que todos se encuentran en la misma línea vertical. ¿Podemos entonces argumentar que es localmente un movimiento circular durante el corto intervalo de tiempo$[t, t + dt]$?
Respuestas
En movimiento circular no siempre es el caso que $F_\text{net}=mv^2/r$. Esto solo es válido para un movimiento circular uniforme . En general$mv^2/r$es igual a la componente de la fuerza neta que apunta hacia el centro del círculo. Hay otro componente que debe considerar: el componente tangente a la trayectoria circular.
Para el movimiento plano en coordenadas polares , dividimos la fuerza neta en dos componentes: centrípeta (o radial) y tangencial:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
Dónde $r$ es la distancia desde el origen, $\theta$es el ángulo polar y un punto representa una tasa de cambio en el tiempo. Para movimiento circular,$r$ es constante, por lo que para el movimiento circular la segunda ley de Newton se reduce a
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
Entonces, para su objeto que se mueve en el círculo vertical centrado en el origen en un campo gravitacional constante, podemos mirar los dos componentes (tenga en cuenta que lo negativo es hacia el origen) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$cambia solo la dirección de la velocidad, ya que esta componente de fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, y$F_\theta$cambia solo la magnitud de la velocidad, ya que esta componente de fuerza es siempre paralela / antiparalela a la velocidad.
La magnitud de la fuerza neta viene dada por $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
Que se reduce a $mv^2/r$ para un movimiento circular uniforme ($\ddot\theta=0$y $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).
Lo anterior debería aliviar sus preocupaciones de que solo estamos considerando el movimiento circular local. Esto es solo un movimiento circular. No es necesario traer complicaciones innecesarias.
$mg\sin\theta$no contribuye a la fuerza centrípeta, es la aceleración tangencial que se proporciona a la masa m. Provoca la disminución de la velocidad de la masa durante el ascenso y el aumento durante el descenso. Este no es un caso de movimiento circular uniforme. Debido a esta complicación, generalmente usamos el teorema de la energía del trabajo para resolver preguntas relacionadas con este subtema. Además, la fuerza centrípeta no es la suma vectorial de la fuerza gravitacional y la tensión, es la suma de las fuerzas que se dirigen hacia el centro del círculo. Entonces la fuerza centrípeta es igual a la tensión +$mg\sin\theta$ cual es $mv^2/R$.