La función continua con una derivada dini superior mayor que 0 implica que la función está aumentando
Dejar $f$ ser continuo en $[a,b]$ con $\bar D f \geq 0$ (derivada Dini superior de $f$) en $(a,b)$. Muestra esa$f$ está aumentando en $[a,b]$. Sugerencia: demuestre que esto es cierto para$g$ con $\bar D g \geq \epsilon > 0$ en $[a,b]$. Aplicar esto a la función$g(x) = f(x) + \epsilon x$.
Esta es la pregunta 19 del capítulo 6.2 de la cuarta edición del Análisis Royden-Fitzpatrick.
Mi enfoque es el siguiente
- $g$ es continuo ya que es la combinación lineal de 2 funciones continuas.
- $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ lo que significa $g$ está aumentando estrictamente en $(a,b)$.
- $f = g - \epsilon x$ y $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ implica $f$ está aumentando (no está disminuyendo) en $(a,b)$.
¿Tiene sentido? Gracias por cualquier ayuda. La pregunta también está relacionada con la función continua en$[a, b]$ con derivadas superiores e inferiores acotadas en $(a, b)$ es Lipschitz.
Respuestas
Como sabes eso $2$aguanta? De hecho, esta es la esencia de la prueba, a menos que esté malinterpretando su pregunta, debe trabajar un poco. (¡Hacer un dibujo ayudará!) Primero suponga que$\bar D f >0$ en $(a,b)$. Si hay$a<c<d<b$ tal que $f(c)>f(d)$ entonces podemos elegir $f(c)>\mu>f(d)$. Dejar$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ y considerar $\xi=\sup S.$ Tenga en cuenta que $c<\xi<d$. Toma una secuencia creciente$(t_n)\subseteq (c,d)$ tal que $t_n\to \xi.$ Luego, $f(t_n)\to f(\xi)$. Si$f(\xi)\neq \mu$ entonces hay un $\mu<\alpha<f(\xi)$. Continuidad de$f$ ahora implica que hay un intervalo $I=(\xi,\xi+\delta)$ tal que $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Pero esto contradice la definición de$\xi.$ Así, $f(\xi)= \mu.$
Hemos demostrado que para cada $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, y concluimos que $ D^+ f(\xi)\le 0$, lo cual es una contradicción. Por tanto, la afirmación es cierta para la desigualdad estricta y$now$ definimos $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Resulta que$\bar D g_{\epsilon} >0$ en $(a,b)$ entonces $g_{\epsilon}$ no es decreciente allí, y como $\epsilon$ es arbitrario, $f$ tampoco es decreciente.