¿La prueba del cálculo tensorial del punto de Torricelli?
En esta conferencia en video sobre cálculo de tensores, alrededor de las 2:36 toma el gradiente de una "función de longitud" geométrica que aumenta hacia afuera en la dirección de la longitud. ¿Pero no entiendo la dirección en la que debería estar el gradiente? ¿Los diferentes puntos tienen diferentes gradientes? ¿Y cuál es exactamente el tecnicismo para definir una función desde tres puntos?
Pensé en construir tratando de describir lo que hizo usando coordenadas de la siguiente manera:
Toma tres puntos $ A_1,A_2,A_3$
Ahora, de estos tres puntos fijos tomamos un punto en el triángulo $ (x,y)$
Dejar $d(A_i(x,y))$ estar distancia de nuestro punto desde el vértice A Nuestro objetivo es minimizar:
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
Supuestamente tomamos el gradiente de ambos lados y establecemos la izquierda en cero, obtenemos,
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
o,
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
Y el punto donde los tres vectores unitarios de $ d(A_i (x,y))$ir a cero es nuestro punto Torricelli, pero no entiendo bien cómo define las funciones basándose en las distancias desde el vértice. ¿Cuáles son exactamente los tecnicismos de esto?
Además, no puedo encontrar una prueba similar en línea, ¿no es una prueba bien documentada?
Editar: Pensándolo bien, ¿podría usar un método similar para encontrar el 'punto Torricelli' de formas más complicadas? parece que debería ser fácilmente factible con los mismos principios.
Por ejemplo, encontrar el 'punto toricelli' del pentágono se reduce al problema de encontrar una manera de organizar los 5 vectores unitarios de manera que su suma sea cero, como se muestra a continuación. Hablando más, ¿cómo se encontraría generalmente una disposición tal que suma cero?

Respuestas
Hay muchas preguntas. Intentemos hacer una lista.
- "¿Los diferentes puntos tienen diferentes gradientes?"
Ellos si. El gradiente de una función es un campo vectorial, lo que significa que el vector varía de un punto a otro.
- "¿Pero no entiendo la dirección en la que debería estar la pendiente?"
"No entiendo muy bien cómo define las funciones basándose en las distancias desde el vértice. ¿Cuáles son exactamente los aspectos técnicos de esto?"
Geométricamente tenemos 2 propiedades del gradiente:
a) El gradiente apunta en la dirección del aumento más rápido de la función.
Para la función "distancia a O", la dirección de aumento más rápido en algún P (según la respuesta a la parte 1, esto variará a medida que P varía) es la dirección de movimiento a lo largo del rayo OP, "fuera de O". Nuevamente, esta dirección varía a medida que variamos P.
b) El tamaño del gradiente es el cambio en la función por paso en la dirección del gradiente (en el límite de pasos muy pequeños).
Para "distancia desde O", lo que esto dice es que debemos calcular cuánto cambia la "distancia desde O" a medida que damos un paso de tamaño. $\Delta$a lo largo del rayo OP. La respuesta es$\Delta$. La razón de aumento de la función por el tamaño del paso es 1. Por tanto, el vector de gradiente tiene una longitud 1 (para cualquier P).
Alternativamente, podrías escribir $f(P)=|OP|$y tomar gradiente. Supongamos que O es un punto con coordenadas (fijas)$(x_0, y_0)$ y $P$ tiene coordenadas variables $(x, y)$.
Para calcular el gradiente de $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ usamos el hecho de que la distancia al cuadrado es una función más agradable que la distancia (siendo $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, de ahí polinomio cuadrático). Entonces, usamos la regla de la cadena,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; y$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. Juntos esto da$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, también conocido como el vector unitario que señala a lo largo del rayo OP, lo mismo que obtuvimos del razonamiento geométrico anterior.
- "¿Podría usar un método similar para encontrar el 'punto Torricelli' de formas más complicadas?"
Bueno, la parte donde el 'punto Torricelli' es aquella en la que los vectores unitarios desde el punto hasta los vértices suman cero es de hecho la misma, y por la misma razón. El problema es que para 3 vectores, la única forma en que esto puede ser cierto es que todos tienen ángulos de 120 entre cualquier par de vectores, de modo que el punto Torricelli debe tener esta propiedad de "120 grados". Para cualquier número mayor de vectores, hay infinitas configuraciones posibles de vectores unitarios que suman cero. Entonces, la condición "los vectores suman cero" es mucho menos restrictiva. Debe combinarse de alguna manera no trivial con la condición de que estos vectores apunten desde P a los vértices de nuestro polígono. No tengo claro de inmediato cómo se haría esto.
- "Por ejemplo, encontrar el 'punto toricelli' del pentágono reduce al problema de encontrar una manera de organizar los 5 vectores unitarios de manera que su suma sea cero, como se muestra a continuación. Hablando más, ¿cómo se encontraría generalmente una disposición tal que agregue ¿a cero?"
Precisamente. Para 5 vectores, puede producir fácilmente muchos de estos arreglos: sumando 2 vectores unitarios, se puede obtener un vector en una dirección arbitraria de cualquier tamaño entre 0 y 2. Ahora tome cualquier triángulo con un lado$\vec{v}$ de tamaño 1 y otros dos de tamaños entre 0 y 2. Haga estos dos "otros" lados sumando algunos pares de vectores unitarios, y finalmente agregue el último vector unitario igual a $\vec{v}$. La suma total de 5 vectores es entonces la suma de los 3 vectores que forman el triángulo, es decir$\vec{0}$.
Ahora bien, para una configuración aleatoria de este tipo, no encontrará un punto P tal que el vector desde él hasta sus 5 vértices haga esta configuración. Por tanto, no está claro cómo encontrar "puntos Torricelli" de pentágonos utilizando este tipo de método.