La razón del área de dos polígonos regulares

Question

Los polígonos en la siguiente figura son todos polígonos regulares (heptágono regular), comparten un vértice y la línea naranja cruza los tres vértices de los dos polígonos regulares, el área del polígono regular pequeño y el polígono regular grande se denota como $S_1$, $S_2$, que es $\frac{S_1}{S_2}$?

Pregunta adicional (polígono regular de nueve lados)

Answer 1

No pasará por el cálculo, pero esta es la idea.

Primero desde $\triangle ADE$ y $\triangle BDF$ son similares, lo sabemos $AE$ pasar por $G$.

Ahora podemos calcular $DG$,$GC$,$AG$ basado en el heptágono izquierdo y desde $AD\parallel CE$ podemos calcular $GE=GC\cdot {AD\over DG}$. Tambien sabemos$\angle DGE=180^{\circ}-\angle AGD={5\over 7}180^{\circ}$.

Por lo tanto $DE^2=DG^2+GE^2-2\cos({5\over 7}180^{\circ})DG\cdot GE$.

Si tu dejas $a=DG,b=DA,c=DB$, hay algo de identidad aquí

Usando la identidad, $\cos({5\over 7}180^{\circ})=-{a^2+c^2-b^2\over 2ac}=-{a+b\over 2c}$

Nueva edición: en realidad se acaba de dar cuenta $\angle GEB=\angle GAD=\angle GBE$ entonces $GE$ es en realidad solo $b$.

Ahora el cálculo es realmente simple:

$$ED^2=a^2+b^2+ab\cdot{(a+b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+{bc(c-b)+c(c+a)(c-b)\over c}$$ $$=a^2+b^2+bc-b^2+c^2+ac-bc-ab$$ $$=a^2+c^2+ac-ab$$ $$=a^2+c^2+b^2-a^2-c^2+b^2$$ $$=2b^2$$

Entonces el área es exactamente el doble.

Answer 2

Solución a parte $2$ (problema adicional):

Dejar $I$ ser el punto donde $AD$ intersectar la circunferencia $O$ de $\triangle ABC$. Conectar$IO$. Ya que$AI$ es una bisectriz de ángulo $BI=CI$.

Es fácil ver el trapezoide. $BDEC$ es simétrico con respecto a $IO$. además$\angle IBC=\angle ICB=10^{\circ}$ entonces $\angle IBD=50^{\circ}$.

Ahora deja $\angle IDB=x$. Con el rastreo de ángulos utilizando la información anterior, encontramos$$\angle BID=130^{\circ}-x$$ $$\angle IDE=140^{\circ}-x$$ $$\angle DIE=2x-100^{\circ}$$.

Si $ID>DB=DE$, entonces tenemos $50^{\circ}>130^{\circ}-x$ y $140^{\circ}-x>2x-100^{\circ}$ entonces $80^{\circ}>x>80^{\circ}$ lo cual es imposible.

Si $ID<DB=DE$, entonces tenemos $50^{\circ}<130^{\circ}-x$ y $140^{\circ}-x<2x-100^{\circ}$ entonces $80^{\circ}<x<80^{\circ}$ lo cual es imposible.

Por lo tanto $ID=DB=DE$ y $\triangle IDE$ es equilátero, por lo tanto $\angle IDE=60^{\circ}$ y $\angle ADH=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$. Por lo tanto$BD \perp AC$.

($N$ es solo $C$ re-etiquetado)

El resto es simple una vez $BD\perp AC$. Podemos encontrar$\angle MDN=360^{\circ}-60^{\circ}--90^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}$.

Ya que $\angle DMN=60^{\circ}$, $DN=\sqrt{3} DM$ y la relación de área es exactamente $3$.