La suma acotada de imágenes de base ortonormal implica acotación

Question

Este es un problema del "Curso de análisis funcional" de Conway, problema II.1.3. Suponer$E = \{e_n\}$ es una base ortonormal para un espacio de Hilbert $H$ y $A$ es un mapa lineal $H \to K$ (dónde $K$ es también un espacio de Hilbert) que satisface $\sum_n \| Ae_n\| < \infty $. Muestra esa$A$ está ligado.

Creo que la afirmación es falsa en general. Dejar$H=l^2(\mathbb{N})$ y $K = \mathbb{R}$. Podemos extender$E$ a una base de Hamel $E'$ tal que $\|e\| = 1$ para todos $e \in E'$. Dejar$(f_n)$ ser cualquier subconjunto enumerable de $E' \setminus E$. Luego estableciendo$Ae_n = 2^{-n}$, $Af_n = n$ y $Ae = 0$ para $e \in E' \setminus (E \cup (f_n))$ produce un operador ilimitado en $H$. ¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Tu ejemplo está bien. Pero el ejercicio no pregunta lo que dices, sino que pregunta. Dice mostrar que$A$tiene una extensión limitada única. Su ejemplo produce una extensión ilimitada; eso no excluye la existencia de uno limitado.

.

Answer 2

Su demostración es correcta, pero debe mencionar explícitamente que un espacio de Hilbert no puede tener una base de Hamel contable (lo que no es un resultado trivial). Esa es la razón por la que tu secuencia$(f_n)$ existe.