Las propiedades de la función convexa en el intervalo unitario cerrado $[0,1]$.

Question

Considere una función continua y convexa $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$. Me pregunto si

1. $F(x)$ es continuamente diferenciable en $[0,1]$

2. $F(x)$ es de variación limitada en $[0,1]$

3. $F(x)$ es absoluta continua en $[0,1]$.

La segunda es correcta, debido a este post Probar una función convexa es de variación acotada .

Sin embargo, los dos restantes se volvieron misteriosos para mí. El capítulo 6 de Royden les responde si tenemos un intervalo abierto.

Corolario 17: Sea $\varphi$ ser una función convexa en $(a,b)$. Luego$\varphi$ es Lipschitz, y por lo tanto absolutamente continuo en cada subintervalo cerrado, acotado $[c,d]$ y $(a,b)$

Teorema 18: Sea $\varphi$ ser una función convexa en $(a,b)$. Luego$\varphi$ es diferenciable excepto en un número contable de puntos.

Según el teorema 18, es difícil creer que $F(x)$ se volverá diferenciable en $[0,1]$. Pero no puedo encontrar un contraejemplo. Es decir, una función convexa que es continua en$[0,1]$ pero no es diferenciable.

El Corolario 17 nos da un resultado bastante bueno, pero parece que no se aplica al intervalo cerrado. ¿Es posible decir que si tenemos$F(x)$ en $[0,1]$ es convexo, entonces será convexo en $(-\epsilon, 1+\epsilon)$? y luego podemos usar el Corolario 17 para concluir que es absolutamente continuo en$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$.

¡Gracias!

Answer 1

Dados números reales $a<b$, demostremos que una función continua y convexa $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$es absolutamente continuo. Ya que$F$ es una función continua en un equipo compacto $[a,b]$ alcanza su mínimo en algún momento $c\in [a,b]$. Convexidad de$F$ implica que $F$ no aumenta en $[a,c]$ y no decreciente en $[c,b]$. Por tanto, basta con considerar un caso en el que$F$ es monotónico en $[a,b]$.

Dejar $\varepsilon>0$sea ​​cualquier número. Dado que la función$F$ es continuo en $a$ y $b$, allí existe $0<\delta'<|b-a|$ tal que si $x,y\in [a,b]$ y $|x-a|\le\delta’$, $|y-b|\le\delta’$ luego $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$ y $|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$. La monotonicidad de$F$ implica que para cualquier familia $(x_n,y_n)$ de intervalos abiertos disjuntos contenidos en $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ tenemos $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$.

Según el corolario 17, $F$ es absolutamente continuo en $(a+\delta’, b-\delta’)$, entonces existe un número real $\delta\le \delta’$ tal que para cualquier familia finita $(x_n,y_n)$ de intervalos abiertos disjuntos contenidos en $(a+\delta’, b-\delta’)$ de la longitud total como máximo $\delta$ tenemos $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$.

Lo anterior implica fácilmente que cualquier familia finita $(x_n,y_n)$ de intervalos abiertos disjuntos contenidos en $[a, b]$ de la longitud total como máximo $\delta$ tenemos $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$.