¿Le damos la vuelta al símbolo de desigualdad al dividir o multiplicar por una variable de expresión?

Aug 19 2020

¿Le damos la vuelta al símbolo de desigualdad al dividir o multiplicar por una variable de expresión de la misma manera que lo hacemos cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo?

Actualmente tengo cierta confusión sobre la comprensión de las desigualdades logarítmicas.

Hay una desigualdad que no estoy seguro de por qué me equivoqué.

$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$

  1. Para que sea real, se que $(2x-1)/(x-2) > 0,$ y así deberíamos poder cancelar (multiplicar ambos lados) la variable de expresión $(x-2).$ Sin cambiar el símbolo de $>$ a $<$ Sin embargo, después de la multiplicación, obtuve el resultado. $x > 1/2$ en lugar de la respuesta correcta $x < 1/2.$

  2. Yo tambien se que $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ y así también deberíamos poder cancelar la variable de expresión $(x-2).$ Sin cambiar el símbolo de $<$ a $>$ Sin embargo, después de la multiplicación, obtuve el resultado. $x < -1$ en lugar de la respuesta correcta $x > -1.$

Después de combinar ambos casos en una recta numérica, la respuesta correcta es $-1 < x < 1/2,$

pero tengo $x < -1, x > 1/2,$ excepto $x=2,$ que se prueba para ser incorrecta.

No estoy seguro de si no cambiar de símbolos es la fuente de mi error, por eso pregunto.

Debido a que este proceso implica multiplicar o dividir variables de expresión, también creo que mi método no es adecuado debido a la posibilidad de soluciones extrañas, y tal vez debería dibujar y completar una tabla de prueba + error en su lugar.

Gracias de antemano por su tiempo y respuestas.

Respuestas

1 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 15:21

Tenemos $\frac{2x-1}{x-2}>0$. Multiplicar por$(x-2)^2$ en ambos lados, tenemos

$$(2x-1)(x-2) > 0$$

y por lo tanto $x < \frac12$ o $x > 2$.

Tu error es que has asumido que $x-2>0$ debe ser verdad.

También sabemos que $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$

Si $x>2$, entonces tenemos $2x-1 < x-2$, que es equivalente a $x < -1$ que contradice $x>2$.

Si $x < \frac12$, entonces tenemos $2x-1 > x-2$ y por lo tanto $x > -1$.

La conclusión es $-1 < x < \frac12$.