Lema 4.2 Hartshorne IV
La pregunta que tengo es con respecto a la prueba dada en el lema 4.2 de Hartshorne IV. Dejar$X$ ser una curva elíptica y $P,Q\in X$Ser puntos cerrados. Se puede demostrar que el sistema lineal$|P+Q|$ tiene dimensión 1 y no tiene punto de base, por lo que induce un morfismo $g:X \rightarrow \mathbb{P}^1$ de grado 2.
Mi confusión surge de lo que Hartshorne afirmó después: parece implicar que cada fibra de $g$es de cardinalidad dos (incluidos los puntos de ramificación). Mi comprensión del 'grado de morfismo' es que si$\deg g =2$, luego la dimensión de la extensión del campo $[K(X): K(\mathbb{P}^1)]=2$. Para mí, parece que Hartshorne concluyó que cada fibra de$g$ entonces debe tener una fibra de cardinalidad 2.
¿Cómo utilizó Hartshorne esto para concluirlo? ¡Tengo muy poca idea de cómo empezar y cualquier pista o ayuda que me brinden será muy apreciada!
Respuestas
$\newcommand{\Frac}{\mathrm{Frac}}$$\ newcommand {\ Spec} {\ mathrm {Spec}} $ Aquí tienes una forma práctica de entender lo que está pasando.
Tenemos la siguiente simple observación:
Observación: Suponga que tenemos una inclusión de dominios integrales $ A \ hookrightarrow B $ tal que $ B $ es un módulo $ A $ libre finito . Entonces,
$$ \ mathrm {rango} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$
Prueba: tenga en cuenta que tenemos un isomorfismo natural de $ \ mathrm {Frac} (A) $ -algebras
$$ B \ otimes_A \ text {Frac} (A) \ cong \ mathrm {Frac} (B) $$
De hecho, tenemos el mapa natural $ B \ otimes_A \ mathrm {Frac} (A) \ to \ Frac (B) $ procedente de las inclusiones de $ A $ -algebras $ B \ hookrightarrow \ Frac (B) $ y $ \ Frac (A) \ hookrightarrow \ Frac (B) $ . Este mapa es una inclusión ya que tenemos que
$$ 0 \ to \ mathrm {Frac} (A) \ to \ mathrm {Frac} (B) $$
es una secuencia exacta de $ A $ -módulos y, por tanto, dado que $ B $ es $ A $ -flat, esto induce una inclusión
$$ 0 \ to B \ otimes_A \ Frac (A) \ to B \ otimes_A \ Frac (B) $$
Pero, evidentemente $ B \ otimes_A \ Frac (B) = \ Frac (B) $ .
Por lo tanto, vemos que $ B \ otimes_A \ Frac (A) $ es un dominio que contiene $ B $ en $ \ Frac (B) $ . Entonces es un campo ya que es un dominio integral que es finito como un espacio vectorial $ \ Frac (A) $ , y luego use el argumento habitual (por ejemplo, vea la parte inferior de [1]). Pero, entonces es un subcampo de $ \ Frac (B) $ que contiene $ B $ , por lo que es igual a $ \ Frac (B) $ .
Dado que $ B $ es un módulo gratuito finito, vemos que
$$ \ mathrm {rango} _A (B) = \ dim _ {\ Frac (A)} (B \ otimes_A \ Frac (A)) = \ dim _ {\ Frac (A)} \ Frac (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$
como se desee $ \ blacksquare $
¿Por qué nos ayuda esto? Bueno, tenga en cuenta que si $ g: C \ a D $ es cualquier mapa no constante de curvas geométricamente integrales proyectivas suaves sobre $ F $ ( $ F $ es cualquier campo) entonces $ g $ es plano finito. Ambos se pueden verificar sobre $ \ overline {F} $ , así que asumimos esto. La finitud tal vez requiera una pequeña cantidad de trabajo (por ejemplo, aquí hay una prueba exagerada: es apropiado ya que $ C $ y $ D $ lo son, y cuasi-finito ya que $ C $ tiene la topología cofinita y $ g $ no es constante; sigue entonces del teorema principal de Zariski). La planitud es fácil ya que $ g $ es sobreyectiva (dado que $ g (C) $ es un subconjunto cerrado irreducible que no es un punto) y una sobreyección de los esquemas de Dedekind es plana (por ejemplo, ver [2, Proposición 3.9]).
Por lo tanto, vemos que si $ \ Spec (B) $ es un subconjunto abierto afín de $ D $, entonces $ g ^ {- 1} (\ Spec (B)) = \ Spec (A) $ para algún subconjunto abierto afín $ \ Spec (A) $ de $ C $ . Pero, según nuestras suposiciones, sabemos que $ A $ y $ B $ son dominios integrales y el mapa $ A \ a B $ es inyectivo (ya que $ \ Spec (A) \ a \ Spec (B) $ es dominante). Además, al reducir aún más, podemos suponer que $ B $ es un módulo $ A $ gratuito (por ejemplo, dado que $ B $ es plano finito, es localmente gratuito sobre $ A $; por ejemplo, consulte [3, Tag02KB]). nuestro lema tenemos eso
$$ \ mathrm {rango} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$
Pero tenga en cuenta que $ \ Frac (B) = K (D) $ y $ \ Frac (A) = K (C) $ . Entonces, vemos que
$$ \ mathrm {rango} _A (B) = [K (D): K (C)] $$
Pero, si $ p $ es cualquier punto de $ \ Spec (B) $ , correspondiente a un primer $ \ mathfrak {p} $ de $ B $ , entonces sabemos que
$$ g ^ {- 1} (p) = \ Spec (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) $$
Entonces, es fácil ver que
$$ \ # g ^ {- 1} (p) \ leqslant \ dim_ {A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}} (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) = \ mathrm {rango} _A (B) = [K (D): K (C)] $$
Entonces, en resumen, lo anterior muestra que si tiene un mapa no constante de curvas $ g: C \ a D $, entonces el tamaño de la fibra (digamos sobre un punto cerrado) está limitado por $ [K (D) : K (C)] $ y, de hecho, si define 'tamaño' como la dimensión de las secciones globales sobre $ F $ (donde asumimos que $ F $ está algebraicamente cerrado por simplicidad) es precisamente $ [K (D) : K (C)] $ --en otras palabras, si calcula el tamaño de la fibra 'con multiplicidad' como nilpotentes (es decir, ramificación de $ g $ ), entonces el tamaño de la fibra es exactamente $ [K (D): K (C) ] $ .
[1] El homomorfismo de $ k $ -álgebras induce homomorfismo de espectro máximo
[2] 刘 擎 (Qing Liu), 2002. Geometría algebraica y curvas aritméticas (Vol. 6). Prensa de la Universidad de Oxford a pedido.
[3] Varios autores, 2020. Proyecto Stacks .https://stacks.math.columbia.edu/