Limitar usando la expansión de Taylor: ¿qué término expandimos?

Question

Quiero comprobar el limite $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )}$ utilizando la expansión de Taylor.

He hecho lo siguiente: $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{(n-1)^2}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n-1)^n}{\left (n^2+1\right )^{\frac{n}{2}}}$$

¿Para qué término tenemos que escribir la expansión de Taylor?

Answer 1

Tenemos eso

$$\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}=1-\frac{2n}{n^2+1}$$

entonces podemos empezar por la expansión de Taylor de primer orden para $\log(1+x)$ para obtener

$$\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right )=-\frac{2n}{n^2+1}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

luego

$$\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\text{exp}\left( -\frac{n^2}{n^2+1}+O\left(\frac1{n}\right)\right)\to e^{-1}$$

entonces, en este caso, es suficiente una expansión de primer orden.

En general, no existe un método para determinar a priori a qué orden necesitamos expandirnos, pero después de un poco de práctica se vuelve relativamente fácil para los límites estándar.

Answer 2

Expandir el logaritmo $$ \ln\left(\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right)=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right)=-\frac{2n}{n^2+1}+\ldots $$