Límite usando sumas de Riemann [duplicado]

Jan 08 2021

Tengo algunos problemas para resolver el siguiente límite:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

Esta pregunta está en la sección "Suma de Riemann", así que creo que se supone que debemos convertir esto en una integral, entonces:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

pienso que$n$es el número de particiones y$1/n$es la longitud de cada uno, entonces esto significa que$b - a = 1$o$b = a+1$, lo que significa que solo necesitamos encontrar un valor para$a$y$b$sera eso$+1$. Pero ahora parece que no puedo encontrar el valor de$a$ni$f(x)$. ¿Como puedo resolver esto?

Respuestas

3 JoséCarlosSantos Jan 08 2021 at 01:58

Tenga en cuenta que$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$y que por lo tanto$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$