¿Lógica de la definición precisa de límites?

Aug 18 2020

Soy un estudiante de primer año de la universidad que estudia cálculo de Thomas. En este momento estoy aprendiendo la definición precisa de límites usando el método epsilon delta para usar en pruebas, etc.

Noto que al probar el límite de una función, primero se da el límite y luego se usa el método épsilon delta. Pero, ¿no es esto como poner el carro delante del caballo?

Por ejemplo, digamos que necesito demostrar el límite de 5x-3 en x-> 1. Parecería que el orden prescrito es simplemente usar la regla de sustitución para polinomios, obtener 2 como límite, luego usar el método épsilon delta para mostrar que el límite está en 2. Esto me confunde porque el límite no debería ser un 'desconocido 'primero y se debe usar una prueba para derivar el límite como 2. ¿Cómo sé en primer lugar que el límite 2 debe usarse como punto de partida? El orden lógico me parece al revés.

Respuestas

2 peek-a-boo Aug 17 2020 at 23:07

Primero necesita un candidato adecuado / conjetura informada sobre cuál debería ser el límite. Entonces, solo después de eso, puede usar la definición precisa para DEMUESTAR que su conjetura inicial es realmente el caso. Además, puede ver que esto es lo mejor que puede hacer simplemente por cómo se da la definición de límites:

Definición.

Dejar $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ser una función, $a\in\Bbb{R}$. Decimos$f$ tiene un límite finito en $a$ si existe $l\in \Bbb{R}$ tal que por cada $\epsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que para todos $x\in\Bbb{R}$, Si $0<|x-a|<\delta$ luego $|f(x)-l|< \epsilon$.

(En este caso, podemos probar que $l$ es único y lo denotamos como $\lim_{x\to a}f(x)$)

Observe cómo la definición comienza con "existe $l\in \Bbb{R} \dots$"Solo por la forma en que está redactado, sugiere que incluso antes de comprobar el $\epsilon,\delta$ criterio, debe tener un valor candidato para el límite $l$. En ninguna parte la definición te dice qué$l$ es o cómo hacer para adivinar esto (tal "trabajo de conjetura" es algo que aprende a lo largo del camino a medida que aprende más).

Por ejemplo, si tuviera dos funciones $f$ y $g$, con $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ y $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, entonces si todo lo que haces es mirar fijamente la definición de límites, no hay forma de que puedas saberlo $f+g$ también tiene un límite y que el límite es igual a $l_1+l_2$. La única suposición natural sería que si$f+g$ tenía un límite, entonces sería mejor $l_1+l_2$.

Luego, una vez que tenga esta suposición, proceda a probar esto utilizando el $\epsilon,\delta$ definición (donde el quid de la prueba es la desigualdad del triángulo).