Los anillos compactos S-unital son profinitos

Aug 16 2020

Es bien sabido que los anillos unitales topológicos compactos de Hausdorff son profinitos. La prueba se generaliza a (izquierda o derecha) s-anillos unitales (es decir, anillos tales que para todos$r\in R$ tenemos $r\in Rr$ o para todos $r\in R$ tenemos $r\in rR$).

¿Hay alguna referencia para este hecho más general? ¿Existe una generalización adicional (es decir, una clase interesante de anillos, que contienen anillos unitales s, para los cuales Hausdorff compacto implica profinita)?

(Tenga en cuenta que esto no es cierto para todos los anillos, dado que cualquier grupo abeliano compacto de Hausdorff $A$, podemos dotar $A$ con multiplicación cero, lo que lo convierte en un anillo topológico compacto de Hausdorff).

Respuestas

1 BenjaminSteinberg Aug 16 2020 at 20:53

Esto se responde esencialmente en una de las respuestas a ¿Es todo anillo topológico compacto un anillo profinito? .

Si un anillo compacto $R$ tampoco admite ningún elemento $r\neq 0$ con $rR=0$o la condición dual izquierda-derecha entonces es profinita. Esta es la condición que induce el mapa de multiplicación y la incrustación de$R$ en los endomorfismos del dual Pontryagin de su grupo aditivo, que es lo que se usa para probar la desconexión total.

Ver Thm 3 de On Compact Topologica Rings. por Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244