¿Los homomorfismos conservan el orden de los subgrupos?

Question

Leí que el único homomorfismo posible de$\mathbb{Z}_7$a$\mathbb{Z}_{12}$es el que mapea todos los elementos de$\mathbb{Z}_7$a$\{0\}$. Ya que si hay otro homomorfismo de$\mathbb{Z}_7$a$\mathbb{Z}_{12}$, debe ser capaz de mapear cualquier subgrupo no trivial de$\mathbb{Z}_7$, a un subgrupo de$\mathbb{Z}_{12}$. Sin embargo, esto significa que$\mathbb{Z}_{12}$tendría un subgrupo de orden$7$, lo cual es imposible.

Supongo que lo que está implícito en la afirmación anterior es que los homomorfismos conservan el orden de los subgrupos... pero, ¿es esto cierto en general?

Answer 1

No es cierto en general. Dejar$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$dada por$f(x)=2x$. El mapa$f$es claramente un homomorfismo pero no conserva el orden del grupo en sí.

Creo que esta afirmación significa, dado que solo los subgrupos de$\mathbb Z_7$son$\{0\}$y el grupo mismo, núcleo de cualquier homomorfismo no trivial es$\{0\}$y así cualquier homomorfismo no trivial es inyectivo. Esto significa$\mathbb Z_7$es isomorfo a la imagen de sí mismo, pero esto no puede suceder ya que la imagen de un homomorfismo es un subgrupo de$\mathbb Z_{12}$y este grupo no tiene un subgrupo de orden$7$.