Mapa continuo e inyectivo entre anillos, pero con un "agujero" en la imagen.
En $\mathbb R^n$ dejar $B_r$ ser la bola abierta con centro cero y radio $r$. por$r\in (0,1)$ dejar $A_r = \overline{B_1}\setminus B_r$. Dejar$r,s\in (0,1)$ y asumir que $F : A_r\to A_s$ es continuo e inyectivo de tal manera que $F(\partial B_1) = \partial B_1$ y $F(\partial B_r) = \partial B_s$. ¿Es posible que la imagen de$F$ contiene un agujero en $A_s$, es decir, $F(A_r) = A_s\setminus U$, dónde $U$ es un conjunto abierto conectado?
Respuestas
Aquí hay una prueba que usa el teorema de la invariancia del dominio. Toma tu anillo$A_r$ y "duplícalo" pegando dos copias $A^\pm$ de $A=A_r$a lo largo de esferas limítrofes. El resultado es un colector cerrado conectado (compacto y con límite vacío)$M$ (es homeomorfo a $S^{n-1}\times S^1$en caso de que esté interesado). El mapeo$F: A\to A$ produce un mapeo inyectivo continuo $DF: M\to M$. Ya que$M$ es compacto y $F$ es continuo, $DF(M)$también es compacto. Ya que$M$ es Hausdorff, $DF(M)$está cerrado. Por la invariancia del teorema del dominio (aquí es donde se necesita la homología),$DF(M)\subset M$Esta abierto. Ya que$M$ está conectado, $DF(M)=M$. Así,$F(A)=A$. qed
Editar. Dejar$(X,A)$ ser un espacio topológico $X$ con un subconjunto cerrado $A$. El doble $DX$ a lo largo $A$ es el espacio del cociente del producto $$ X\times \{0, 1\} $$ (dónde $\{0, 1\}$ tiene la topología discreta) por la relación de equivalencia $(a, 0)\sim (a, 1)$ para todos $a\in A$. (El espacio de producto anterior es una unión disjunta de dos copias de$X$. El espacio$DX$ se describe informalmente como obtenido de esa unión disjunta al pegar dos copias de $A$. Es un buen ejercicio para comprender el ejemplo cuando$X$ es el disco cerrado y $A$es su círculo límite. Luego$DX$ es homeomorfo a $S^2$.) Ya que $A$ está cerrado, $DX$ es Hausdorff, siempre que $X$es. (Ejemplo: si$X$ es una variedad con límite y $A=\partial X$, luego $DX$ es una variedad sin límite.)
Suponer que $f: (X,A)\to (Y,B)$ es un mapa continuo de pares (es decir $f(A)\subset B$), entonces uno define su doble por $$ Df: [(x, i)] \mapsto [(f(x), i)], i=0, 1. $$Aquí el corchete indica la clase de equivalencia anterior. El mapa$Df$ está bien definido desde $f(A)\subset B$. El mapa$Df$es siempre continuo. Si$f$ es inyectivo, también lo es $Df$.
No, eso no es posible. Vamos a elegir$r = s$, y de hecho trabaja con un anillo $A$ de radio interior $1$ y radio exterior $2$. Y escojamos un punto$P$ en el set $U$, así que eso $P$ es un punto de $A$ tal que $P \notin F(A)$. Entonces tenemos nuestro mapa,$$ F : A \to A $$ cuya imagen extraña $P \in A \subset \Bbb R^2$. Definir$$ \gamma_c $$ ser un camino que comienza en $(1,0)$ y viajando en línea recta hacia $(1+c, 0)$, luego atravesando un círculo de radio $1+c$ contrarreloj, y luego volviendo a $(1,0)$, así que eso $$ \gamma_c(t) = \begin{cases} (1 + 3ct, 0) & 0 \le t \le \frac13 \\ ((1+c)\cos(6\pi(t-\frac13)), (1+c)\cos(6\pi(t-\frac13))) & \frac13 \le t \le \frac23\\ (1 + t - 3(t-\frac23), 0) & \frac23 \le t \le 1 \end{cases} $$
Luego $\gamma_0$ y $\gamma_1$ son bucles homotópicos en $\pi_1(A, a)$, dónde $a = (1, 0)$. Y$\gamma_c$ es homotópico a estos para todos los valores de $0 \le c \le 1$. En particular, el bucle$\alpha$ definido por $\gamma_0$ seguido por $\gamma_1$ es nulo-homotópico en $\pi_1(A,a)$. Eso significa que$F \circ \alpha$ es nulo homotópico en $F(A)$, por lo tanto (por inclusión) en $\pi_1(\Bbb R^2 \setminus \{P\}, F(a)) = \Bbb Z$.
Pero $F \circ \alpha$ vientos una vez alrededor del punto $P$ (OK, eso requiere un poco de prueba, pero no mucho), por lo tanto, representa un elemento distinto de cero de $\pi_1(\Bbb R^2 \setminus \{P\}, F(a))$, que es imposible, porque $F_\star$ es un homomorfismo de grupos y no puede enviar $0$ a un generador.