mapa de inclusión en colector liso
Dado múltiple suave $M$ y es sub-colector $S$(por ejemplo, subconjunto abierto de $M$) tenemos mapa de inclusión $i:S\to M$.
Y tratamos $i$ como $i(x) = x$ típicamente.
Por ejemplo $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ es válido para definir $i(x) = x$ Pero parece que no por ejemplo la inclusión $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ como $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$
Así que estaba un poco confundido, ¿cuál es la definición de inclusión aquí? ¿Deberíamos tratarlo como $i(x) = x$?
¿Es esta "inclusión" una incrustación topológica por defecto o no?
Encontré una explicación aquí
Respuestas
En realidad, hay sutilezas más profundas: la noción de una subvariedad puede generar mucha confusión: ¿desea que una subvarietal esté sumergida, quiere que sea una subvarietal incrustada?
Un sub-colector sumergido $S$ de una variedad de $M$es la imagen de una variedad bajo una inmersión. Una inmersión es un mapa suave con derivada inyectiva.
Una incrustación es una incrustación topológica , es decir, un homeomorfismo en su imagen (con respecto a la topología subespacial), que también es una inmersión inyectiva.
¡Nota !: ¡Las inmersiones no son necesariamente inyectables ni una incrustación topológica!
el mapa de inclusión siempre se define como $i(x) = x$ .
la razón por la que llamamos $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ El mapa de inclusión está debajo de la representación de coordenadas que tiene esta forma. $S\subset M$. La inclusión es$i(x) = x$
Cuando hablamos de variedad suave, no debemos asumir que el mapa de inclusión es una incrustación topológica.
Si $S\subset M$ como sub-colector sumergido suave, y $S$ tiene topología subespacial, podemos asumir $i$ como incrustación topológica