Mapeo de $f(z)$

Question

Deja que la función $f$ ser analítico en el plano complejo, real en el eje real, 0 en el origen y no idénticamente cero.

Demuestre que, si $f$ mapea el eje imaginario en una línea recta, entonces, esa línea recta debe ser un eje real o un eje imaginario.

Mi esfuerzo: $f(z)$ es analítico si $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ también es analítico.$f(z)$ coincide con $g(z)$en el eje real. Considere la secuencia${1/n}$converge a cero. Ahora, usando el teorema de la identidad podemos concluir$f(z)=g(z)$ sobre plano complejo. $g(z)$ asigna el eje imaginario al eje imaginario y también $f(z)$. No puedo entender cuando$f$ asigna el eje imaginario al eje real.

Answer 1

Dejar $k \ge 1$ el orden del cero de $f$Al origen; por la forma local de la función analítica en$0$, a saber, $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$, inmediatamente sigue que $f$ transforma el ángulo $\theta$ entre dos curvas cualesquiera que pasen por el origen, al ángulo $k\theta$ (en particular $f$ es conforme en el origen precisamente para $k=1$)

Dado que el ángulo entre el eje real e imaginario es $\pi/2$, el ángulo entre sus imágenes es $k\pi/2$, así que por hipótesis, el eje imaginario se envía a una línea que hace una $k\pi/2$ ángulo con el eje real para algún número entero $k \ge 1$ y solo hay dos de tales líneas, el eje imaginario y el real dependiendo de si $k$ es par o impar, así que hemos terminado.

$z^2, z^4$ son ejemplos que satisfacen la hipótesis y donde el eje imaginario se envía al eje real (aunque en un caso las dos imágenes están disjuntas excepto en el cero que son dos medias líneas y en el otro, coinciden - note que la imagen del real o eje imaginario debajo $f$ puede no estar en la línea completa, también se envía), mientras que $z$ es un ejemplo donde se envía a sí mismo