Métrica inversa para descomposición 3 + 1
Estaba tratando de leer sobre la descomposición 3 + 1 del espacio-tiempo en la sección 12.2 del libro Gravitation Foundations and Frontiers de Padmanabhan. Sin embargo, otras fuentes también pueden proporcionar el contexto para mi pregunta.
Una vez que el sistema de coordenadas $(t,y^\alpha)$ ha sido adoptado en el espacio-tiempo a partir de la foliación, $x^a=x^a(t,y^\alpha)$, entonces podemos escribir (también el libro usa la convención $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ o los índices latinos representan el espacio-tiempo y los índices griegos solo el espacio), \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} Donde hemos utilizado el hecho de que la tangente a las curvas parametrizadas por $t$ es $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; y$N$se llama función lapso y$N^\alpha$se llama vector de desplazamiento .$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ son la tangente a la hipersuperficie llamadas tétradas.
El elemento de línea (cuadrado) ahora se convierte en, \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} aquí, \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} La métrica se puede leer en el elemento de línea anterior, \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} En forma de matriz, \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}
Mi pregunta es ¿cómo calcular la inversa de esta métrica?
Intenté hacer eso pero no tuve éxito excepto por el componente $g^{00}$y no estoy seguro de si esa derivación es correcta. Permítanme describir el proceso a continuación.
No fue $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ en el sistema de coordenadas $(t,y^\alpha)$. Así,\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} Donde he utilizado el hecho de que los vectores normales se definen como $n_a=-N\partial_a t$ y la normalización para hipersuperficies espaciales es tal que $n^an_a=-1$.
En el libro, los componentes de la métrica inversa se dan como: \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}
Por lo tanto, la respuesta que estoy buscando es la derivación paso a paso de la métrica inversa dados los componentes de la métrica y también se debe verificar si mi cálculo para $g^{00}$es correcto. Gracias.
Respuestas
Déjame hacerlo de una vez por todas. Aunque la pregunta ha sido respondida por spiridon, me gustaría dar una derivación formal ya que la respuesta de spiridon implica conjeturas. Tenemos una situación en la que necesitamos calcular la inversa de una matriz particionada. Entonces, primero derivemos una fórmula general para la inversa de matrices particionadas y luego la aplicaremos a la métrica.
Deje dos no singulares $n\times n$ matrices $A$ y $B$ dividirse de la siguiente manera, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} Dejar $A_{11}$ y $B_{11}$ ser $k\times k$ matrices con $k<n$. También asumiremos,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Ahora si $B=A^{-1}$, entonces encontraremos las matrices componentes de $B$ en términos de las matrices componentes de $A$. Tenemos,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Esta relación matricial se reduce a, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} De (2) y (3) tenemos, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} Sustituyendo estos en (1) y (4), obtenemos, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Por lo tanto, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Ahora, sustituyéndolos en (2) y (3), obtenemos, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Por lo tanto, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Para nuestro propósito sería conveniente ampliar, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$en términos de identidad de la matriz de Woodbury . Primero, derivemos la identidad. Tenga en cuenta que,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Esto implica, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}dado que existen todas las inversas requeridas! Luego,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Así, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}La identidad anterior se denomina identidad de matriz de Woodbury . Ahora, identificando$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ y $V=A_{12}$, obtenemos, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Por lo tanto, finalmente tenemos, \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}Después de derivar esta fórmula general, volvamos a calcular la inversa de la métrica. Tenemos,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} Ahora, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} También notamos que, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Luego,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} y \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} y finalmente, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}¡Voila! ¡Disfrutar!
Bueno, tal vez haya una forma más clara de hacer esto, sin tener que adivinar. Partiría de la definición de una matriz inversa:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ O más concretamente: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Escrito en componentes: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Ahora, usando la simetría de $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ bajo intercambio de $\mu \leftrightarrow \nu$, uno puede ver, que hay $ D(D+1) / 2$ ecuaciones lineales sobre el mismo número de incógnitas, que en principio pueden resolverse.
Hacer esto directamente parece una tarea tediosa, por lo que puede haber una suposición fundamentada. Suponiendo que supiéramos que$g^{00}$ es $-N^2$, en general ansatz podría ser $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, entonces la primera ecuación se resuelve inmediatamente estableciendo: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$Entonces uno puede mirar en la segunda línea. Aquí también es natural suponer que$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, dónde $b^{\mu \nu}$también es simétrico. Esta sustitución da:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Aquí también, se puede ver que el $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ hace el trabajo.
Esta respuesta extiende ligeramente la de spiridon y reformula partes de la configuración de OP en un lenguaje ligeramente diferente.
La métrica inversa $g^{-1}$, al ser un tensor, es independiente de las coordenadas. Por lo tanto, una forma de determinar los componentes de la métrica inversa en un sistema de coordenadas particular es derivarlo de una representación independiente de coordenadas. A saber, si la métrica inversa en una base$\{{\bf e}_a\}$ es dado por $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ entonces sus componentes están dados por la acción de $g^{-1}$ sobre la base dual $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ La descomposición 3 + 1 del espacio-tiempo se realiza por las superficies niveladas (realmente hipersuperficies) de un campo escalar. $f$. Una unidad normal es$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. Desde la unidad normal$n^a$ se pueden construir proyectores en paralelo ($P_\parallel$) y ortogonal ($P_\perp$) a ella. Sus componentes están dados por las expresiones$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ Con estos proyectores se pueden determinar los componentes de la métrica $g_{ab}$ en términos de foliación hipersuperficial: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ El campo tensorial $h_{ab}$es la métrica inducida en las hipersuperficies, ya que cada contracción de la misma con la unidad normal desaparece. De manera similar, se puede verificar que los componentes de la métrica inversa satisfacen$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ En una hiperesuperficie determinada $f=t$, uno introduce un conjunto de coordenadas de un parámetro $y^\alpha$ que varían suavemente en función de $t$. Esto genera un conjunto de campos vectoriales$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$tangencial a la hipersuperficie, que sirven como un mapa incrustado desde la hipersuperficie hasta el espacio-tiempo. En particular, la métrica inducida se puede expresar en términos de estas nuevas coordenadas mediante la relación$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. En este sistema de coordenadas, el vector de tiempo$t^a$ generalmente no es ortogonal a la hipersuperficie, pero se puede descomponer en ortogonal $N$ y tangencial $N^\alpha$ partes: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Tenga en cuenta que $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ es dual con el vector de tiempo $t^a$. La sustitución de \ eqref {descomposición} en \ eqref {inverso} produce$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ Los componentes de la métrica inversa en el sistema de coordenadas dado se pueden encontrar por contracción: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}
Referencias:
- E. Poisson (2007), A Relativist's Toolkit - capítulos 3, 4
- E. Gourgoulhon (2012), Formalismo 3 + 1 y bases de la relatividad numérica - capítulos 2, 3