Minimización de la varianza frente al déficit esperado: distribuciones donde la diferencia es destacada

Aug 19 2020

En la teoría de carteras en finanzas, dado un conjunto de$n$activos para elegir, a menudo se seleccionan las ponderaciones de la cartera para maximizar el rendimiento esperado y minimizar alguna medida de riesgo, por ejemplo, la varianza o el déficit esperado *. Si consideramos que los rendimientos de los activos son variables aleatorias, estamos buscando una combinación lineal, con pesos que sumen la unidad, de variables aleatorias que tengan un valor esperado alto y una medida de riesgo baja. Consideremos solo dos activos,$n=2$, y suponga que los rendimientos esperados de todos los activos son iguales a la misma constante, por ejemplo, cero.

Preguntas:

  1. ¿Cuáles son algunas distribuciones bivariadas que permiten minimizar la varianza pero conservando un gran déficit esperado, o viceversa?
  2. ¿Cuáles son algunas distribuciones bivariadas que producirían pesos óptimos sustancialmente diferentes al minimizar la varianza frente al minimizar el déficit esperado?
  3. ¿Qué es característico de tales distribuciones? (Se agradecerían ejemplos realistas de finanzas).

*$q\%$el déficit esperado (también conocido como pérdida de cola esperada o valor en riesgo condicional) es simplemente la media de la cola izquierda de la variable aleatoria, la cola se corta en la$q\%$nivel cuantil.

El tema abarca tanto las finanzas como las estadísticas. La pregunta se publicó anteriormente en Cross Validated pero no recibió respuestas. Ahora lo estoy reposteando aquí. Si bien no se recomienda la publicación cruzada, mantendré la publicación en Cross Validated en caso de que eventualmente atraiga una respuesta allí.

Respuestas

1 gg Sep 07 2020 at 17:48

Dichos cálculos se complican rápidamente incluso en el caso bivariado y se abordan mejor mediante simulaciones. Dicho esto, la pregunta básica sobre la diferencia fundamental entre la optimización utilizando el riesgo de cola frente a las medidas de riesgo basadas en la varianza se puede ilustrar mediante un cálculo sencillo utilizando solo el rendimiento total de la cartera.

En pocas palabras, la diferencia filosófica y práctica es que las medidas de riesgo de cola solo se centran en las colas, mientras que la varianza incorpora información de toda la distribución. Todas las demás diferencias se derivan entonces de esta distinción básica.

Descomposición de cola/sin cola

Creo que es completamente suficiente para analizar el caso univariado. Dejar$S$denote el rendimiento total de la cartera (por ejemplo,$S = wX + (1-w)Y$por dos bienes$X$y$Y$con peso$0\leq w \leq 1$).

Con la probabilidad de cola$0<q < 1$y el cuantil de la cola$s_q$( es decir$\mathbb{P}[S<s_q] = q$) podemos distinguir entre la cola$\{ S \leq s_q\}$y sin cola$\{ S > s_q\}$regiones de$S$utilizando la variable de Bernoulli$Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $. Dejar$F_S$ser la distribución de$S$y$\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$ser la distribución condicional superior o no de cola y$\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$sea ​​la distribución condicional de cola inferior. Esas distribuciones son distribuciones truncadas inferiores respectivamente superiores . Además, necesitamos$\hat{e}$y$\check{e}$las expectativas, así como las variaciones$\hat{v}^2$y$\check{v}^2$de$\hat{F}$y$\check{F}$.

Por simplicidad supongamos que$S$tiene una densidad continua. Después$-\check{e}$es el déficit esperado de$S$. Por la ley de la expectativa total usando$\mathbb{E}[S]=0$uno ve que:$$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$o$$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$

De la misma manera, solo que ahora usando la ley de la varianza total , podemos desarmar la Varianza de$S$:$$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$Para el tercer término se usa el hecho de que$Z$es Bernoulli con$\mathbb{P}[Z=1]=q$y la relacion$(\ref{1})$entre los dos posibles valores de$\mathbb{E}[S\mid Z].$

Interpretación

De acuerdo a$(\ref{2})$la varianza se puede descomponer en dos varianzas "internas", es decir, varianza de cola y de no cola y una varianza "intermedia" que surge de la diferencia en la media entre la cola y la de no cola.

Así que sí, un gran déficit esperado impulsará la varianza. En ese sentido, la optimización de la varianza y el déficit esperado proporcionarán direcciones similares. Pero la varianza incorpora términos adicionales, que son completamente ignorados por la optimización del déficit esperado. Y aunque posiblemente y en la práctica a menudo$\check{v}^2$estará muy relacionado con$\check{e}$por las colas de las distribuciones de activos disponibles, el comportamiento de$\hat{v}^2$es a menudo bastante separado y algo dominante, especialmente si$q$es muy pequeño. Con la optimización de la varianza, tiene mucho sentido asumir un mayor riesgo de cola para deshacerse de la volatilidad que no es de cola.

Este comportamiento miope también es la razón por la que la optimización pura del déficit esperado (o valor en riesgo) será rara en la práctica. No es un consuelo estar bien administrado en un nivel de 1 en 100 años, si incurre en pérdidas regularmente.