Mostrando que un subanillo$K$de$\mathbb H$contiene un campo que es isomorfo a$\mathbb C$

Aug 19 2020

Dejar$K$ser un subanillo de$\mathbb H$, el anillo de los cuaterniones, con$\mathbb R \subseteq K$y$\mathbb R \neq K$, allá$\mathbb R$es el anillo de los números reales.
Demostrar que existe$x \in K$tal que$ x^2 = -1$. Utilice este hecho para deducir que$K$contiene un campo que es isomorfo a$\mathbb C$, el anillo de los números complejos.

Mis razonamientos:

Ya que$\mathbb R \subseteq K$pero$\mathbb R \neq K$, debe existir alguna$u \in \{i, j, k\}$, tal que$u \in K$, dónde$i, j, k$son las unidades de cuaternión y, en particular, satisfacen

$i^2=j^2=k^2=-1$

Esto se me ocurrió porque, para que$K$ser diferente de$\mathbb R$, tiene que contener al menos una de estas unidades. Si$K$en realidad contiene$u$, después$u$es una solución de

$x^2=-1$

En este punto mostré, si todo es correcto, que$K$contiene tal$x$, pero no sé cómo mostrar la última parte de la pregunta.

Me preguntaba si podría considerar

$\mathbb R[u]=\{a+ub:a,b \in \mathbb R\}$

tenemos eso$\mathbb R[u] \subseteq K$, ya que$\mathbb R \subseteq K$y$u \in K$y$K$es un anillo

Para mostrar que$\mathbb R[u]$es un campo y que es isomorfo a$\mathbb C$, sería "fácil" usar polinomios y cocientes, de hecho tenemos

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Dónde$\mathbb R[x]$es el anillo de polinomios sobre$\mathbb R$y$(x^2+1)$es el ideal principal generado por el polinomio$x^2+1$, que no tiene raíces en$\mathbb R$, haciéndola máxima. Este isomorfismo se cumple porque$x^2+1$es el polinomio mínimo de$u$sobre$\mathbb R$.

Pero también sabemos que

$\mathbb C \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$

Donde realmente podemos ver$\mathbb C$como$\mathbb R[i]=\{a+ib:a,b \in \mathbb R\}$.

Concluimos que

$\mathbb R[u] \simeq \mathbb C$

Ahora, este método puede o no ser correcto, pero mi verdadera pregunta es encontrar una manera de hacerlo sin usar cocientes, ideales máximos y propiedades "avanzadas" de polinomios sobre un campo, porque este ejercicio se da, en mi curso, antes todos ellos.

Respuestas

1 RobertLewis Aug 19 2020 at 06:08

Como es bien sabido,$\Bbb H$posee una base que consiste en

$1 \in \Bbb R \tag 1$

y$i$,$j$,$k$tal que

$ij = k, \; jk = i, \; ki = j, \tag 2$

$i^2 = j^2 = k^2 = -1; \tag 3$

por supuesto, (2) y (3) juntas implican que$i$,$j$,$k$anti-conmutación, a saber:

$-j = i^2j = i(ij) = ik, \tag 4$

con argumentos similares que muestran que

$ji = -k, \; kj = -i; \tag 5$

usando (2)-(4) calculamos$(ai + bj + ck)^2$, dónde$a, b, c \in \Bbb R$:

$(ai + bj + ck)^2 = (ai + bj + ck)(ai + bj + ck)$ $= a^2ii + b^2jj + c^2kk + abij + acik + abji + bcjk + acki + bckj$ $= -a^2 - b^2 - c^2 + ab(ij + hi) + ac(ik + ki) + bc(jk + kj)$ $= -(a^2 + b^2 + c^2) < 0, \tag 6$

proporcionó al menos uno de$a$,$b$,$c$no desaparece Esto produce

$\left ( \dfrac{ai + bj + ck}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = \dfrac{(ai + bj + ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1. \tag 7$

Ahora si$K$es un subanillo de$\Bbb H$con

$\Bbb R \subsetneq K \subset \Bbb H, \tag 8$

después$K$debe contener un elemento$q \in\Bbb H$de la forma

$q = r + ai + bj + ck, \tag 9$

con

$r, a, b, c \in \Bbb R, \tag{10}$

y al menos uno de$a$,$b$,$c$distinto de cero, una condición fácilmente visible como equivalente a

$a^2 + b^2 + c^2 > 0; \tag{11}$

ya que$K$es un subanillo y (8) implica

$r \in K, \tag{12}$

(9) rendimientos

$p = ai + bj + ck = q - r \in K, \tag{13}$

y por lo que hemos visto arriba

$\left (\dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = -1; \tag{14}$

ahora a la luz de (8) y (10),

$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K, \tag{15}$

y por lo tanto

$u = \dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K \tag{16}$

con

$u^2 = -1, \tag{17}$

como se muestra arriba en (14); así el campo

$\Bbb R(u) \subset K, \tag{18}$

y usando (17) es fácil ver que los elementos de$\Bbb R(u)$son todos de la forma$a + bu$,$a, b \in \Bbb R$, y por lo tanto el mapeo

$\Bbb R(u) \ni a + bu \mapsto a + bi \in \Bbb C \tag{19}$

define un isomorfismo 'entre$\Bbb R(u)$y$\Bbb C$; dejamos que el lector suficientemente interesado proporcione los detalles simples.

Nota Bene, miércoles 20 de agosto de 2020 23:24 PST: Observamos que la demostración anterior indica que hay muchas subálgebras de$\Bbb H$que contiene$\Bbb R$e isomorfo a$\Bbb C.$

.

2 egreg Aug 18 2020 at 23:21

Su punto de partida es incorrecto. Lo que sabes es que existe un cuaternión$a+bi+cj+dk$tal que al menos uno entre$b,c,d$es distinto de cero.

No hay ninguna razón por la que un cuaternión elemental deba estar en$K$.

Un ejemplo sencillo es$\mathbb{R}[q]$, dónde$q=(i+j+k)/\sqrt{3}$, que en realidad es un campo isomorfo a$\mathbb{C}$y no contiene nada de$i,j,k$.


Dejar$u\in K$,$u\notin\mathbb{R}$. Luego los cuaterniones$1,u,u^2,u^3,u^4$no son linealmente independientes, porque$\mathbb{H}$tiene dimensión cuatro sobre$\mathbb{R}$. Por lo tanto existe un polinomio con coeficientes reales que se anula en$u$. Por otra parte, el polinomio puede factorizarse en factores irreducibles de grado uno o dos y, dado que los cuaterniones son un álgebra de división, uno de los factores debe desaparecer en$u$. Tal factor debe tener grado dos, de lo contrario$u$seria real

Sin pérdida de generalidad, el polinomio es mónico. Así hay$a,b\in\mathbb{R}$tal que$u^2+au+b=0$. Ahora podemos completar el cuadrado.$$ \Bigl(u-\frac{a}{2}\Bigr)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 $$Tenga en cuenta que$b-a^2/4>0$, porque$x^2+ax+b$es por suposición un polinomio irreducible. Establecer$c=\sqrt{b-a^2/4}$y$v=(u-a/2)/c$; se sigue de los supuestos que$v\in K$. Después$c^2v^2+c^2=0$, por eso$v^2=-1$.

Ahora muestra que$\mathbb{R}[v]$es un campo Como es algebraico sobre$\mathbb{R}$, debe ser isomorfo a$\mathbb{C}$.