Mostrar expectativa de mínimo de la martingala parada es $-\infty$

Question

Considere la martingala de caminata aleatoria $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ dónde $X_k$ están uniformemente delimitados, iid con $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Dejar$a>0$ y establecer $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Muestra esa$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

Estaba pensando en definir $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ y usando la martingala $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Luego obtendremos (usando MCT y delimitación y$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Esto implica$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. No estoy seguro de cómo proceder desde aquí.

Answer 1

¿Qué tal esto?

Para cualquier $N < \infty$, por el teorema de muestreo opcional, tenemos $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. Y$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ como $N, k \to \infty$.

Entonces $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ converge a un número negativo como $N,k \to \infty$.

Dejar $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Ahora$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Si$E(U) > -\infty$, luego $E(U I_{U < -k}) \to 0$ como $k \to \infty$, lo cual es una contradicción.