Muestra esa $2^n-1 \neq k^y$ por extraño $y$ [duplicar]

Dec 03 2020

por $n\in \mathbb N$, $n>1$ Pruebalo $$2^n-1 \neq k^y$$ para todos $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$

Asumiendo por contradicción que existe $(k,y)$ tal que $2^n-1 = k^y$, Logré demostrar que el par no existe para una k par y para una y par.

Necesito demostrar que tampoco existe por un extraño y.

Necesito usar en esta prueba que

$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$

¡Gracias!

Respuestas

StinkingBishop Dec 03 2020 at 19:07

Si $y$ es extraño (p. ej. $y=2z+1$), luego:

$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$

Esto significa que la suma en el segundo paréntesis de la derecha tiene $2z+1$ términos, todos son impares, por lo que la suma completa es impar.

Esto a su vez significa que $2^n\mid k+1$ como todas las apariciones del factor primo $2$ debe estar presente en el primer factor $k+1$.

Sin embargo, como también tenemos $k+1\mid 2^n$, esto significa que $k+1=2^n$, es decir $k=2^n-1=k^y$. Entonces tampoco$k=1$ y entonces $2^n=2$, es decir $n=1$ (contradicción), o $k>1$, lo que implica $y=1$ (contradicción).