Muestra esa $f’(0)$ existe y es igual a 1.

Question

Dejar $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$sea ​​continuo. Asumir que$f’(x)$ existe para todos $x \neq 0$ y $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Muestra esa$f’(0)$ existe y $f’(0) = 1$

Mi intento: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

No creo que el intercambio de límites que he hecho sea correcto. ¿Alguien puede ayudarme con cómo hacer esto?

Answer 1

Creo que la publicación Martin R vinculada dice algo similar, pero esta es una aplicación estándar de MVT: Fix $h>0$ y considerar $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, entonces por el teorema del valor medio puedes encontrar un punto $a \in (0,h)$ tal que $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Ahora toma$h \to 0$. Qué le sucede a$a$? Manten eso en mente$a$ depende de $h$.

Además, intercambiar límites no es una buena idea a menos que esté apelando a un teorema / resultado específico que le permita hacer esto. En general, ni siquiera los límites "fáciles" se pueden cambiar.