Muestra esa $f(x) = x|x|$ ¿Es continua y diferenciable la verificación de la solución?

Question

Otro ejercicio que hice sin ninguna solución.

Dudo mucho que esto sea correcto, así que corrígeme :)

Dejar $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ser dado por $f(x):=x|x| .$ Muestra esa $f$ es continuo y diferenciable en $\mathrm{R}$

$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ Entonces $f(x)$ es continuo

Diferenciable: mostrar $f^{\prime}(x)$ existe en todo $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$

Answer 1

La parte de continuidad es correcta, pero no la parte de diferenciabilidad. Tenga en cuenta que$f(x)=x^2$ es $x\geqslant0$. Esto muestra que$f'(x)=2x$ es $x>0$ y que la derivada derecha de $f$ a $0$ es $0$. Por el mismo argumento,$f'(x)=-2x$ es $x<0$ y la derivada izquierda de $f$ a $0$ es $0$. Entonces,$f$ es diferenciable en $\Bbb R\setminus\{0\}$ y, dado que las derivadas izquierda y derecha en $0$ son ambos iguales a $0$, $f'(0)=0$. En particular,$f$ es diferenciable en $0$ también.

Answer 2

Alternativamente,

• para $x<0$, $f(x)=-x^2$, que es diferenciable;

• para $x>0$, $f(x)=x^2$, que es diferenciable;

• a $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ confirma que la función es diferenciable.

Una función diferenciable también es continua.

Answer 3

por $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$

Para los límites de la mano izquierda y derecha de $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ como $x\to 0$, ambos van a $0$, entonces $f(x)$ es diferenciable en $0$.

Nota: para $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$