Muestra esa$U_1 \oplus U_2=V$

Question

Dejar$V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ser un$\mathbb{R} $espacio vectorial de todas las asignaciones de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

Muestra esa$U_1 \oplus U_2=V$.

¿Puede alguien darme una pista sobre cómo empezar con él?

Mi idea inicial era mostrar que$U_1 \cap U_2 = {0}$y$\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$

Answer 1

$U_1\cap U_2=\{0\}$es fácil y te dejaré manejarlo. Para la segunda propiedad usa el hecho de que$f=g+h$dónde$g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$y$h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$

Answer 2

$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$

Answer 3

Pista: cada función se puede escribir como la suma de una función par e impar. Por ejemplo: para cualquier$g\in V$, tenga en cuenta que$g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$.
Para$U_1\cap U_2$, piensa en la función que es impar y par ambas!