Muéstralo por $a_i>0$ y $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [duplicar]
Muéstralo por $a_i>0$ y $n \ge 2$ lo siguiente es válido: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$
Sé que el lado derecho es de hecho: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ Que se puede escribir como:
$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ Que sigue fácilmente el resultado. También se puede utilizar la inducción en $n$: El caso base es cierto ya que $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$
Suponga que la relación se cumple para $n$ y multiplicar ambos lados de la relación por $(1+a_{n+1})$:
$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$
Muestra que el reclamo es válido para todos $n \ge 2$.
¿Es cierto lo que he hecho y hay una mejor manera?
Respuestas
Si $a_k>0$, entonces $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ Del mismo modo, continúe haciendo esto repetidamente para obtener $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$