Muestre que el conjunto de poder es un conjunto.

Question

Me encontré con la siguiente propuesta que el autor quiere que el lector pruebe:

Proposición 1 . Para conjunto arbitrario$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ es un conjunto.

Mi intento (principalmente basado en sugerencias dadas por el autor):

Primero declararé el axioma de poder presentado en el libro (que parece ser diferente de lo que está escrito en el artículo de wikipedia ):

Axioma del conjunto de poder . Dejar$X$ y $Y$ser conjuntos. Entonces existe un conjunto, denotado$Y^{X}$ , que consta de todas las funciones de $X$ a $Y$ , así

$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $X$ and range Y)}$$

Usando el axioma del conjunto de potencia y el axioma de reemplazo, podemos construir el siguiente conjunto

$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$

Ahora tenemos que demostrar que para arbitrario $A \in S$, $A \in S$ si $A \subseteq X$

$(\rightarrow)$ Toma alguno $A \in S$ y toma un poco $a \in A$. Ya que$A \in S$, existe algo $f: X \rightarrow Y$ tal que $f^{-1}(\{1\}) = A$. Por definición de la imagen al revés, podemos concluir que$a$ está en el dominio de $f$, es decir $a \in X$.

$(\leftarrow)$ Tome un subconjunto arbitrario de $X$decir $A$. Podemos definir$f: X \rightarrow Y$ tal que $f(x) = 1$ si $x \in A$y $f(x) = 0$de otra manera. Vemos eso$f \in \{0,1\}^{X}$ y es cierto que $A = f^{-1}(\{1\})$. Por lo tanto$A \in S$.

Por lo tanto $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, Lo que significa que $\{A \mid A \subseteq X\}$ es un conjunto.

$\blacksquare$

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Pregunta 1.

¿Es correcto?

Pregunta 2.

Si la prueba anterior es correcta, ¿existen alternativas más concisas? Antes de ver las sugerencias del autor (es decir, necesitamos usar el axioma de conjunto de potencia y el axioma de reemplazo), pensé que el siguiente argumento sería suficiente: "El conjunto es una colección de objetos. Subconjunto es un objeto. Por lo tanto, colección de subconjuntos de un conjunto particular es un conjunto ".

Answer 1

Esta prueba me parece bien. Solo un par de comentarios al respecto:

1. A menos que ya se haya probado en otra parte del libro que está leyendo, agregaría una justificación de por qué los elementos de $S$ son conjuntos, algo como $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ es un conjunto para cada $f \in \{0,1 \}^X$ por el axioma de la separación.
2. En el $(\to)$ dirección, debe considerar dos casos, a saber $A = \varnothing$ y $A \neq \varnothing$. Si$A = \varnothing$, luego trivialmente $A \subseteq X$; de lo contrario hay$a \in A$ (como usted dice), y el resto de la prueba sigue.

Como se insinúa en los comentarios, el punto de usar tal formalismo para demostrar que para cualquier conjunto $A$, $\mathcal P(A)$también es un conjunto (en lugar de argumentar como pensó al principio), proviene de matemáticos que intentan evitar llegar a una posición en la que ciertas colecciones de conjuntos son tan "grandes" que surgen contradicciones dentro de su sistema de axiomas, como las ejemplificadas en Cantor y Las paradojas de Burali-Forti .