Multiplicitas de raíces de $x^{p^k}-x$ ( $p$ es primo) en $L[x]$ con $L$ como una extensión de $Z_p$

Aug 20 2020

Lo siguiente es de A. Białynicki-Birula, "Álgebra" (la traducción es mía).

(Capítulo VI, \ $ 6).

Ejemplo 1. Sea $ K $ un campo y sea $ b \ en K, b \ neq 0 $ . Consideremos el polinomio $ x ^ n - b $ . Demostraremos que si $ \ chi (K) = 0 $ , entonces cada raíz de este polinomio tiene multiplicidad igual a 1, y si $ \ chi (K) = p \ neq 0 $ , entonces cada raíz de este polinomio tiene multiplicidad igual a $ p ^ m $ , donde $ p ^ m $ es la mayor potencia de $ p $ tal que $ p ^ m \ mid n $ .

Observación: En el texto siguiente, el autor escribió "ver capítulo IV, $ 6, ejemplo 1". Claramente es un error ya que no existe tal ejemplo y ese capítulo es "Dimensión" (del espacio lineal). Por eso supongo que quiso referirse a lo que cité anteriormente.

(Capítulo X. Elementos algebraicos; \ $ 4. El campo de la factorización polinomial)

Teorema 4.1. Para cada campo $ K $ y para cada polinomio $ f \ en K [x] $ de grado mayor que 0 existe una extensión $ L $ del campo $ K $ tal que el polinomio $ f $ tiene factorización en factores lineales en el anillo $ L [x] $ .

Ejemplo 1. Sea $ p $ un número primo y $ k $ un número natural. El teorema 4.1 implica que existe una extensión $ L $ del campo $ Z_p $ tal que el polinomio $ x ^ {p ^ k} - x $ tiene factorización en factores lineales en el anillo $ L [x] $ . Así, en el anillo $ L [x] $ tenemos $$ x ^ {p ^ k} -x = (x-e_1) (x-e_2) ... (x-e_q), \ \ \ \ \ \ \ q = p ^ k. $$ Por cada dos elementos $ e_i $ , $ e_j $ tales que $ i \ neq j $ se cumple la condición $ e_i \ neq e_j $ y cada raíz del polinomio $ x ^ {p ^ k} - x $ en el campo $ L $ es igual a $ e_k $ para algunos $ k = 1, ..., q $ (ver capítulo IV, $ 6, ejemplo 1). (...)

¿Cómo nos permite el enunciado del primer ejemplo concluir que para cada $i, j$ el hecho $i \neq j$ implica que $e_i \neq e_j$? He intentado demostrarlo de varias formas pero sin éxito. Traté de establecer eso$x^n - b$ de alguna manera reúne todas las raíces para $x^{p^k} - x$ "tiene exactamente uno a su disposición" ($p^m \cdot 1 = p^m$), usa poderes para obtener $p^m$ mismos factores en la factorización de $x^{p^k}-x$ y así sucesivamente, pero no puedo establecer una relación (suficiente) entre $x^{p^k} - x$ y $x^n - b$en este caso.
Todo lo que obtuve es que:

  1. cada raíz $a$ de $x^{p^k} - x$ es una raíz de $x^{p^k} - a$,
  2. Si $a$ es una raíz de $x^{p^k} - x$, entonces este polinomio no se puede factorizar en $(x-a)^{p^k}$ como polinomios $x^{p^k} - x$ y $x^{p^k}-a$son diferentes. De algunas búsquedas en Internet, he visto que las pruebas del hecho en cuestión generalmente usan derivadas, pero leí casi todo el libro y estoy casi seguro de que él no usa eso.

Respuestas

1 Cardioid_Ass_22 Aug 21 2020 at 01:54

Nota: Eliminé mi respuesta inicial, porque parece que no entendí un poco la pregunta cuando escribí eso.

Si uno ya tiene el resultado en el ejemplo $1$ del capítulo $6$, luego la declaración en el Ejemplo $1$ siguiente teorema $4.1$ es bastante fácil de probar.

La idea es esencialmente factorizar $f(x)=x^{p^k}-x$ como $x(x^{p^k-1}-1)$. Claramente$0$ no es una raíz de $x^{p^k}-1$, entonces $0$ no es una raíz repetida de $f(x)$. Esto significa exactamente uno de los$e_i$s, decir $e_1$ WLOG, es $0$. Esto nos da$x^{p^k-1}-1=(x-e_2)(x-e_3)\dots(x-e_q)$, por lo que es suficiente mostrar que $x^{p^k-1}-1$no tiene raíces repetidas. Pero esto es trivial, ya que el poder supremo de$p$ divisor $p^k-1$ es obviamente $p^0=1$, entonces por Capítulo $6$, Ejemplo $1$, todas las raíces de $x^{p^k}-1$ tener multiplicidad $1$ (recuerde que estamos trabajando en una extensión de $\mathbb Z_p$), es decir, todos $e_2,e_3,\dots,e_q$son distintos. De ello se deduce que todos$e_i$s son distintos, como se desee.

Nuevamente, disculpas por la complicada respuesta inicial y cualquier confusión que haya causado. El material allí era en gran parte irrelevante.