$N(\frac{1}{2},2)=3$ para vectores en un espacio de Hilbert

Question

Encontré Esta pregunta con respecto al número máximo de vectores casi ortogonales que se pueden incrustar en un espacio de Hilbert. Afirman que$N(\frac{1}{2},2)=3$, y esa construcción explícita de los vectores usando la esfera de Bloch lo demuestra. Sin embargo, parece que no puedo comprender lo que quieren decir con esto. Su ejemplo adicional de$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$tiene sentido para mí, ya que estos son simplemente los vectores propios de los operadores de pauli. Pero, ¿cómo se demuestra que el número de vectores que cumplen los siguientes criterios es solo 3?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Answer 1

Aquí hay una forma muy visual de pensar en esto (no pretendo que sea una prueba rigurosa). Dejar$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Cada uno de estos tiene superposiciones de 1/2. Ahora dibuje estos en la esfera de Bloch. Son tres vectores igualmente espaciados alrededor de un círculo máximo. No se puede acercar una a otra porque eso aumentaría su superposición.

Ahora, ¿puedo agregar un cuarto vector? Cualquiera que sea el vector que agregue a la esfera, debe formar un ángulo de$\pi/2$ o menos con uno de los vectores existentes, y por lo tanto se superpondrían $1/\sqrt{2}$o mayor. Entonces, al menos para esta elección de tres vectores, no puedo agregar un cuarto y mantener el valor de$\epsilon$.

Con esta imagen en mente, es probable que pueda también convencerse de que estos vectores tienen que ser seleccionados de esta manera.$|V_1\rangle$es arbitrario, puedo orientar la vista para que esté en la parte superior de la esfera. Xa$|V_2\rangle$ Tengo una libertad de rotación arbitraria sobre el $V_1\rangle$eje, así que elegí el componente ortogonal para que sea real y positivo. En ese momento, mi elección de$|V_3\rangle$ se solucionó: solo había una opción posible que podría tener la superposición correcta.

Si la versión visual no te sirve, estoy seguro de que alguien lo formalizará matemáticamente ...