No entiendo cómo funciona este PDF conjunto

Question

Esta pregunta proviene de MIT 6.041 OCW.

No entiendo la parte b de esta pregunta, específicamente cómo$f_X(x)$y$f_{Y|X}(y|0.5)$se calculan.

Según tengo entendido, obtienes el PDF marginal al integrar el PDF conjunto, es decir$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Esto ya lleva a muchas confusiones:

1. Hay, según el diagrama, dos$f_{X,Y}(x,y)$:$1/2$y$3/2$. Así que integrando estos dos obtenemos$\frac{1}{2}y$y$\frac{3}{2}y$respectivamente, entonces, ¿cuál se supone que es$f_X(x)$? Y es$f_X(x)$en términos de$y$incluso legítimo?

2. Los estados de solución$f_X(x)$en términos de$x$, pero si integramos$f_{X,Y}(x,y)$en términos de$y$, ¿cómo podríamos conseguir$x$?

Solución para$f_{Y|X}(y|0.5)$es aún más raro; ¿El punto individual no obtiene cero PDF porque un punto no tiene área? Entonces, ¿cómo es posible hablar de$X=0.5$en primer lugar, y mucho menos dejar que un evento de probabilidad cero sea el denominador?

Answer 1

Las integrales en cuestión son integrales definidas , no antiderivadas. Por ejemplo,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Dado que

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

obtenemos, por$0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

y para$1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Para los demás tenemos

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

y

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Tenga en cuenta que la evaluación de la última requiere la integración de una función constante por partes.