No puedo entender mis propias soluciones para $\log_5(3x-1)<1$ y $\log(6/x)>\log(x+5)$
Aquí tengo dos ejemplos de desigualdades logarítmicas. A pesar de poder resolverlo, simplemente no podía entender completamente mi propio proceso.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
Pero la solucion no es $x\in(-\infty, 2)$
Ahora considerando los valores de $x$ dónde $\log_5(3x-1)$ se define: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
La solución es la intersección. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
De nuevo, resolví
$\frac{6}{x}> x+5$ y $x+5>0$, como $x>-5$ siendo el rango de valores definidos para los logaritmos. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
Entonces, hice la mesa y obtuve $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
La solución a este problema es $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
Los objetivos de esta pregunta son:
- Comprender cómo resolver mejor las desigualdades, comprenderlo de manera más intuitiva;
- Comprender cómo funcionan las desigualdades, comprenderlas de manera más intuitiva también;
- Por qué la respuesta es la intersección de la "solución" con los valores definidos;
Lo siento si la pregunta es demasiado elemental, pero cualquier sugerencia sería bienvenida.
Respuestas
Parece que tiene un par de ideas.
Esta es nuestra definición básica $\log_b x = y \implies x = b^y$
Si $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
Hay algunas características básicas de la función.
La función está "aumentando monótonamente". Es decir$\log x > \log y \iff x > y$
La función es "inyectiva": $\log x = \log y \iff x = y$
Y, el dominio de $\log x = (0,\infty).$ Si $x<0$ la función no está definida.
No es necesario que conozca estas palabras de vocabulario. Debe comprender las implicaciones en lo que respecta a la función logaritmo.
A los problemas actuales.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$de las dos primeras reglas. Y$3x-1 > 0$ de la última regla
Creo que es una buena idea enumerar todas estas limitaciones al principio.
Podríamos escribirlo así: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
Para el segundo problema:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
Por suerte, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ para que podamos eliminar la última restricción.
La contraint $x>0$ nos hace un servicio, en eso, podemos multiplicar por $x$sin preocuparse por darle la vuelta al signo de la desigualdad. Si existiera la posibilidad de que x fuera negativo, no podríamos hacer eso.
$0 > x^2 + 5x - 6$ y $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ y $x>0$
La primera desigualdad tiene solución $(-6,1)$ y el segundo $(0,\infty)$
$(0,1)$ sería el intervalo donde ambos aguantan.
Parece que estás resolviendo estas desigualdades muy bien. Tal vez sería mejor, como se sugiere en los comentarios, establecer restricciones primero y luego trabajar a partir de ahí.
En la primera pregunta, por ejemplo, obtiene una solución primero ($x<2$) luego aplique restricciones desde allí. Creo que esto es lo que puede dejarlo confundido con su proceso.
Cuando te dan el logaritmo $\log_5(3x-1)$, primero debe encontrar los valores de $x$ satisfactorio $3x-1>0$, para asegurarse de que no provoque accidentalmente un número negativo en su logaritmo. Una vez que consigas$x>\frac{1}{3}$, entonces puedes empezar a buscar una solución a la desigualdad. Una vez que consigas$x<2$, le resultará fácil aplicar la restricción sin tener que pensar en ello.
Lo mismo ocurre con el segundo, pero no consideró el logaritmo de la izquierda también al determinar las restricciones (es decir, obtuvo$x>-5$ pero no conseguiste $x>0$, que te acerca a la respuesta). Creo que esto te habría ahorrado algo de tiempo.
Espero que esto te ayude.