Números de$1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$están escritos y dos cualesquiera$x,y$se toman y reemplazamos$x,y$por solo$x+y+xy$

Question

¡Esta es una muy buena pregunta! (Todos han encontrado una pregunta que les hace amar las matemáticas, esta es la mía :)

Escribimos una serie de números.$$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

Ahora podemos elegir dos números$x$y$y$y reemplazamos estos dos números por un solo número$x+y+xy$

Este proceso se repite hasta que solo quede un número, encuentre el último número.

¡Esto me acaba de desconcertar! En serio, no tengo idea de cómo proceder. ¿No es interesante que terminemos con el mismo número a pesar de donde empezamos? Todos los consejos son bienvenidos sobre cómo resolverlo.

Answer 1

Esta es una pregunta invariable: imagina una función$f(x_1,...,x_m)$(dónde$m$es un cierto número de argumentos y$x_i$son todos números reales) con la siguiente propiedad:$f(x_1,...,x_m)$no cambia cuando tomas dos de estos$x_i,x_j$y reemplazarlos por sólo$x_i+x_j+x_ix_j$.

Entonces, ¿qué sucede? Si solo hay un número$N$en el tablero que quedó después de todo eso, entonces$f(x_1,...,x_m) = f(N)$, asi que$N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$siempre que$f(x_1,...,x_m)$tiene exactamente una preimagen.

Una pista para esta función$f$viene de$(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, entonces algo como: agregar$1$a todos los números que tienes, y multiplicar estos resultados juntos?

¡Es obvio que tal función hace el trabajo! En cuyo caso, debemos agregar$1$a cada uno de los números, y multiplícalos todos. eso es como multiplicar$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, que es solo$2011$.

Ahora, cualquiera que sea el último número que esté en la pizarra, uno más eso es$2011$, así es$2010$.

Answer 2

La operacion$x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$en números reales es asociativo por lo que el resultado no depende del orden de los pasos y es igual a$$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

Answer 3

supongamos que eliges$\frac1m$y$\frac1n$en el primer turno, reemplácelos por$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(tenga en cuenta que$x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

En el siguiente turno, puedes elegir dos números$\frac1a$y$\frac1b$, y el número reemplazado se verá como arriba, con$a,b$reemplazando$m,n$. Sin embargo, si elige el nuevo número obtenido en el paso anterior, es decir$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$y uno de los números originales$\frac1a$, luego los reemplazas por$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

Complete los pasos intermedios para mostrar por inducción que el número reemplazado en cualquier paso se verá así$\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, por lo que la respuesta final será$$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.