Obtener representaciones de palabras mínimas inesperadas para el elemento de GAP

Aug 17 2020

Estoy trabajando con un grupo de permutación generado por algunos generadores específicos:

r1 := (1,2,3,4,5,6);
r2 := (7,8,9,10,11,12);
s1 := (1,7,10,4);
s2 := (2,8,11,5);
s3 := (3,9,12,6);

También tengo un conjunto de elementos de un subgrupo que escribí en términos de estos:

f1 := r1*s1^(-1)*s2*r2^(-1);
f15 := r2^(2)*s1*s3^(2)*r1;

Sin embargo, si uso GAP para obtener las representaciones mínimas de estos dos elementos, devuelve lo que esperaba para f1, pero no para f15.

En particular:

puzzle := Group([r1,r2,s1,s2,s3]);; Size(puzzle);
479001600
brk_2> hom := EpimorphismFromFreeGroup(puzzle: names:=["r1","r2","s1","s2","s3"]);;
brk_2> PreImagesRepresentative(hom, f1);
r1*s1^-1*s2*r2^-1
brk_2> PreImagesRepresentative(hom, f15);
s3^2*r1^-1*s2*r1^2*s2*r1*s2^-1*(s1^2*r1^-2)^2*s1^2*r1

¿Por qué GAP no devuelve una palabra de longitud 6 para f15, ya que claramente existe una?

Referencia: aquí está la documentación que muestra este método para generar palabras mínimas.

Nota: La palabra expresada parece ser igual a f15:

brk_2> s3^2*r1^-1*s2*r1^2*s2*r1*s2^-1*(s1^2*r1^-2)^2*s1^2*r1;
(1,7)(2,3,12,8,5,6,9,11,10,4)
brk_2> f15;
(1,7)(2,3,12,8,5,6,9,11,10,4)

Respuestas

3 MaxHorn Aug 17 2020 at 17:28

No PreImagesRepresentativese garantiza que la función devuelva una palabra mínima, y ​​no veo nada en el manual de GAP que indique lo contrario. La sección a la que hace referencia es técnicamente correcta pero, de hecho, algo engañosa (y, por lo tanto, buscaré cambiarla): es posible que en el ejemplo citado se haya encontrado una palabra más corta, ¡simplemente no está garantizado!

Para obtener realmente una palabra mínima, puede usar la Factorizationfunción. Continuando con tu ejemplo, obtenemos esto:

gap> Factorization(puzzle, f15);
r2^2*s3^2*s1*r1