¡Par L-tromino!

Question

Amy está jugando con diferentes polominós. De repente, piensa en un problema de la siguiente manera.

Elija dos números enteros positivos $m,n$. Si podemos usar solo L-trominos para teselar un$m\times n$ rectángulo sin espacios, superposiciones o cualquier cuadrado que cuelgue de los rectángulos, entonces llamamos al par $(m,n)$ Par L-tromino.

Ella llama a su hermano Ben y al genio , y trata de averiguar todos los pares de L-tromino. El genio es súper inteligente y los encontró a todos con una prueba. ¿Puedes?

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Problema por mi cuenta.

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Aquí hay una imagen de L-tromino, si quieres verla:

Answer 1

Obviamente, ambas dimensiones de un rectángulo enlosable deben ser al menos $2$. Además, dado que el área de un tromino es$3$, el área de un rectángulo enlosable es un múltiplo de $3$y, por tanto, al menos una de las dimensiones es múltiplo de 3.

Primero, algunos casos fáciles:

$3k\times2n$: Dos trominós forman una $3\times2$rectángulo. Por lo tanto, cualquier$3k\times2n$ rectángulo es trivialmente enlosable.

$6k\times(2n+3)$: Este rectángulo se divide en un $6k\times3$ y un $6k\times2n$ rectángulo, los cuales son instancias del caso trivialmente enlosable anterior.

El caso más complicado es este:

Los casos anteriores se refieren a todos los rectángulos en los que una de las dimensiones es par. Así que ahora solo quedan aquellos con dimensiones impares.

$9\times5$: Este rectángulo se puede colocar en mosaico:

$(6k+9) \times (2n+5)$: Cualquier rectángulo con dimensiones impares, una dimensión múltiplo de 3 y no menor que $9\times5$, se puede embaldosar. Puedes parir un rectángulo de tamaño$6k\times(2n+5)$ que ya ha demostrado ser enlosable para reducirlo a $9\times(2n+5)$. Luego puede parir un rectángulo de tamaño enlosable$9\times2n$, dejando el enlosable $9\times5$.

Ahora solo queda por demostrar que$3\times(2n+1)$no se puede enlosar. Esto es bastante obvio cuando lo intentas. Las únicas formas en que puede rellenar el borde corto del rectángulo crearán un$3\times2$bloquear. Por lo tanto, el rectángulo se reduce inevitablemente a lo inestimable$3\times1$forma.

En resumen, los pares L-tromino son$(m,n)$ dónde $m,n\ge2$, al menos uno de $m$ o $n$ es divisible por 3, y si ambos son impares entonces $m,n\ge5$.