Para mostrar el centro de homotecia del círculo más grande y más pequeño se encuentra en la tangente común sobre T

Question

$c_1$ centrado en $A$ que pasa a través $B$.

$BB′$ es un diámetro de $c_1$.

$T$ un punto aleatorio en un segmento $BB′$.

$c_2$ centrado en $B′$ que pasa a través $T$.

$c_3$ centrado en $B$ que pasa a través $T$.

$c_4$ tangente externamente a $c_2$ y $c_3$ e internamente tangente a $c_1$

$F$ es el centro de $c_4$ y $H,I$ son puntos de tangencia.

Es claro para mi que $Z = HI \cap AF$ es el segundo centro de homotecia de $c_1$ y $c_4$ y me gustaría demostrar que también se encuentra en esa línea perpendicular a $AB$ mediante $T$.

resultado relacionado importante que probablemente debería saber: muestre que estos tres círculos comparten sus líneas tangentes comunes externas

Este parece ser un resultado general sobre círculos de mierda

Answer 1

• Sea la tangente común en $T$ reunirse $AF$ a $Y$ y dejar perpendicular a $AB$ mediante $F$ reunirse $AB$ a $L$.

  
  Entonces calculamos$y=LT$ por el teorema de Pitágoras: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ entonces $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ y así obtenemos $$y= {ac\over a+b}$$ entonces $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• Por otro lado deja $X$ estar en $HI\cap AF$.

  
  Homotecia$H_1$ a $H$ y coeficiente ${b\over c}$ toma $F$ a $B'$ y homotecia $H_2$ a $G$ y coeficiente ${a+b\over b}$ toma $B'$ a $A$, entonces composición $H_2\circ H_1$ toma $F$ a $A$ y tiene centro en $FA\cap GH =X$. Esta composición tiene coeficiente$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ entonces $X$ divide $AF$ en la misma proporción que $Y$ y por lo tanto $X=Y$ y hemos terminado.

Answer 2

El argumento en la respuesta de Aqua se puede abreviar de la siguiente manera. Usamos los mismos nombres de puntos, pero aquí$a,b,c$ son los radios de los círculos centrados en $A,B',F$ respectivamente (esto cambia el significado de $a$). Dejar$LT:TA$ ser $x$.

Como se describe en la geometría del triángulo de Yiu , pág.2 , el centro homotético interno$X$ (también conocido como centro interno de similitud) de dos círculos $O(R),I(r)$ divide el segmento $OI$ en la proporción $R:r$. Así, el punto homotético interno de$F(c),A(a)$ divide $FA$ en la proporción $c:a$.

Usando el teorema de Pitágoras como en la respuesta de Aqua obtenemos

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

Resolviendo para $x$(usando un solucionador en línea si somos vagos) obtenemos$x=\dfrac{c}{a}$. Así

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

entonces $Y$ es el centro homotético interno de $c_1,c_4$.