Para prima $p \ge 5$ existe un $n$ con $2 \le n \lt p -1$ con $[n]$ una raíz primitiva de la unidad de $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$.
Dejar $p$ ser un primer satisfactorio $p \ge 5$.
¿Es cierto lo siguiente?
Existe un entero $n$ satisfactorio
$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $[norte]$ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$(es decir $[n]$ es una raíz primitiva de unidad)
Si la afirmación es verdadera, hay una pregunta de seguimiento,
¿Hay un número primo que se pueda elegir para $n$?
Mi trabajo
He estado "jugando" en la teoría de números hasta el punto de que ahora es una "cosa segura" intuitiva, pero todo puede ser destruido con un contraejemplo. Dado que, si es cierto, la respuesta podría estar involucrada, agregué la etiqueta de solicitud de referencia . También agregué la etiqueta de conjetura, pero la eliminaré si se vuelve insostenible de los comentarios que recibo.
Respuestas
Está bien, descubrí el caso general. Sin embargo, todavía dejaré mi otra respuesta.
Recordar que $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$.
En particular, cada raíz primitiva $\alpha$ modificación $p$ tiene exactamente un ascensor $\hat{\alpha}$ modificación $p^2$ que no es primitivo, y corresponde al que vive en el $\{e\} \times C_{p-1}$subgrupo en el isomorfismo anterior. Podemos ver en esto que si$\hat{\alpha}$ es mod primitivo $p$ pero no mod $p^2$ que su mod inverso multiplicativo $p^2$ (cual es $\hat{\alpha}^{p-2}$ en este caso) también es mod primitivo $p$ pero no mod $p^2$.
Bien ahora suponga $\alpha < p$ es un mod de raíz primitivo $p$ pero no $p^2$. Considere el número único$\beta < p$ tal que $\alpha \beta \equiv 1$ modificación $p$. Yo reclamo que$\beta$ debe ser un mod de raíz primitivo $p^2$. Supongamos que no, entonces$\beta$ debe ser el inverso de $\alpha$ modificación $p^2$ ya que hay un elemento no primitivo único congruente con $\beta$ modificación $p$, y conocemos la inversa de $\alpha$es uno. sin embargo, desde$\alpha < p $ y $\beta < p$ tenemos eso $\alpha \beta < p^2$, por lo que no es posible que sean inversas.
Aquí hay una prueba de cuando $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$:
Primero tenga en cuenta que si $p \equiv 1 \mod 4$ luego $\alpha$ es un mod de raíz primitivo $p$ si $-\alpha$es. Suponer$(-\alpha)^b \equiv 1$ para algunos $b < p-1$. Si$b$ incluso entonces tendríamos $\alpha^b \equiv 1$, que es una contradicción como $\alpha$es primitivo. Si$b$ eran extraños entonces $\alpha^b \equiv -1$, que solo sucede cuando $b = \frac{p-1}{2}$ pero eso no es extraño ya que $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$.
Bien, ahora veamos mod $p^2$. Yo digo que si$\alpha < p$ es un mod de raíz primitivo $p$ entonces al menos uno de $\alpha$ o $p-\alpha$ es mod primitivo $p^2$.
Ya que $\alpha$ y $p-\alpha$ son mod primitivos $p$, luego mod $p^2$ o son primitivos o tienen orden $p-1$. Supongamos que tenemos tanto$\alpha^{p-1}$ y $(p-\alpha)^{p-1}$ son congruentes con $1$ modificación $p^2$. Ampliando esto con el teorema del binomio obtenemos:
$$1 \equiv (p-\alpha)^{p-1} \equiv -\binom{p-1}{1}pa + \alpha^{p-1} \equiv -(p-1)p\alpha +1$$
Lo que significa $(p-1)p\alpha$ es divisible por $p^2$, pero eso es una contradicción ya que $p$ es primo y $\alpha < p$.