¿Para qué valores de$\alpha$es {$z_n$} una sucesión acotada?

Aug 16 2020

Dónde$\alpha$es una constante real, considere la sucesión {$z_n$} definido por$z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. ¿Para qué valor de$\alpha$es {$z_n$} una sucesión acotada?

¿Cómo empiezo con este tipo de pregunta? Creo que$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$la secuencia es convergente y por lo tanto acotada, pero ¿cómo la escribo?

Respuestas

1 Zuy Aug 16 2020 at 17:30

Si$\alpha=0$,$(z_n)$es constante, por lo tanto acotada.

Si$\alpha>0$,$(z_n)$converge a 0 y por lo tanto está acotado.

Si$\alpha<0$,$(z_n)$diverge a$+\infty$y por lo tanto es ilimitado.

1 BenGrossmann Aug 16 2020 at 17:32

Como digo en el comentario, tienes la respuesta correcta. La única tarea pendiente es dar una explicación formal de la respuesta. Una forma de escribir una respuesta es la siguiente:

En primer lugar, observamos que la función$f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$definido por$f(x) = x^{\beta}$satisface$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$Sospecho que no necesita probar esta declaración formalmente: es probable que haya una declaración en el libro de texto a la que pueda referirse.

Con eso establecido, abordar el problema en$3$casos: en el caso de que$\alpha < 0$, concluya utilizando el hecho anterior de que$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, lo que significa que la sucesión no está acotada. en el caso de que$\alpha = 0$, Concluye esto$z_n \to 0$, lo que significa que la secuencia es convergente y, por lo tanto, está acotada. Del mismo modo, si$\alpha > 0$, Concluye esto$z_n \to 0$, lo que significa que la secuencia es convergente y por lo tanto acotada.

Por tanto, concluimos que la sucesión está acotada si y sólo si$\alpha \geq 0$.