¿Para qué valores de$\alpha$es {$z_n$} una sucesión acotada?
Dónde$\alpha$es una constante real, considere la sucesión {$z_n$} definido por$z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. ¿Para qué valor de$\alpha$es {$z_n$} una sucesión acotada?
¿Cómo empiezo con este tipo de pregunta? Creo que$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$la secuencia es convergente y por lo tanto acotada, pero ¿cómo la escribo?
Respuestas
Si$\alpha=0$,$(z_n)$es constante, por lo tanto acotada.
Si$\alpha>0$,$(z_n)$converge a 0 y por lo tanto está acotado.
Si$\alpha<0$,$(z_n)$diverge a$+\infty$y por lo tanto es ilimitado.
Como digo en el comentario, tienes la respuesta correcta. La única tarea pendiente es dar una explicación formal de la respuesta. Una forma de escribir una respuesta es la siguiente:
En primer lugar, observamos que la función$f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$definido por$f(x) = x^{\beta}$satisface$$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$Sospecho que no necesita probar esta declaración formalmente: es probable que haya una declaración en el libro de texto a la que pueda referirse.
Con eso establecido, abordar el problema en$3$casos: en el caso de que$\alpha < 0$, concluya utilizando el hecho anterior de que$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, lo que significa que la sucesión no está acotada. en el caso de que$\alpha = 0$, Concluye esto$z_n \to 0$, lo que significa que la secuencia es convergente y, por lo tanto, está acotada. Del mismo modo, si$\alpha > 0$, Concluye esto$z_n \to 0$, lo que significa que la secuencia es convergente y por lo tanto acotada.
Por tanto, concluimos que la sucesión está acotada si y sólo si$\alpha \geq 0$.