Parámetros de una distribución beta

Question

Encontré aquí una pregunta sobre los parámetros negativos de una distribución beta. A continuación se muestra el enlace para esa pregunta: parámetros negativos de la distribución beta

Hay un comentario donde el $A$ parámetro = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , y el $B$ parámetro = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

¿Puedo preguntar cómo llegar a esta ecuación o al menos una referencia de esto? Traté de exponer los parámetros ayb que se encuentran en Wikipedia, pero llegué a una respuesta ligeramente diferente en comparación con dicho comentario (un parámetro en Wikipedia debe multiplicarse por -1 para llegar a la misma respuesta).

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Esto puede ser una trampa, pero puede dejar que Wolfram Alpha resuelva las ecuaciones por usted.

Según Wolfram Alpha, la respuesta no trivial es \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} asumiendo $m \neq 0$, $v \neq 0$ y $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

Esto es lo que producen las ecuaciones en una cuadrícula equidistante en $[0,1]^2$ para $(m,v)$:

La ecuación para la varianza se puede escribir de manera más compacta como $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

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Podemos preguntar qué combinaciones $(m,v) \in [0,1]^2$conducir a parámetros válidos para la distribución Beta. Para esto, necesitamos tener$\alpha$ y $\beta > 0$. Ambas condiciones se cumplen si y solo si\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} mostrando que esta es la única condición necesaria, además de $m \in (0,1)$.