$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ y multiplicación por $2$
Quiero calcular el grupo fundamental del plano proyectivo real $\text{P}^2(\mathbb{R})$ utilizando el teorema de SVK.
Con este fin, elijo modelar $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ como el disco unitario $\{x:\|x\|\leq 1\}$ en $\mathbb{R}^2$ coorientado mediante la identificación de puntos antípodas que se encuentran en el límite.
tomo
- $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
- $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, dónde $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
- $A\cap B$
que están todos conectados por caminos.
Ahora, arregla un punto $x_0 \in A\cap B.$
$A$ puede rectificarse por deformación para $S^1$, así que eso $A \approx S^1$ y $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ La retraccion $r_A:A \to S^1$ induce un isomorfismo $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ que es dado por $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ para cada bucle $\lambda$ en $A.$
Si llamo $c$ el bucle correspondiente a $1 \in \mathbb{Z}$ bajo el isomorfismo, tengo la igualdad $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; la deformación, dando un camino$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ desde $x_0$ a $r(x_0),$ también da una presentación $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, donde podemos ver ahora el generador como un bucle con puntos finales $x_0$ en vez de $r(x_0).$
Por otra parte, $B$ puede ser contratado para $\{x_0\},$ entonces $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$
Finalmente, eligiendo otro círculo $S^1_{x_0}$ que pasa a través $x_0$Me retracto $A \cap B$ a eso para que $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$
La inclusión $A \cap B \subset B$ induce un morfismo $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ que solo puede ser el mapa trivial que envía todo a la ruta constante en $x_0.$
A continuación, la inclusión $A \cap B \subset A$ induce un morfismo de grupos $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ dada por $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ para cada bucle $\ell$ en $A \cap B$ con puntos finales $x_0.$
Quiero entender cómo demostrar que el mapa $a_*$ como se define arriba tiene que ser la multiplicación por dos $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
Respuestas
El morfismo $a_*$ da un bucle $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ y lo envía al bucle correspondiente en $\pi_1(A,x_0),$ que, dado que el mapa es inducido por la inclusión, es solo $[\ell]_A$, (es decir $\ell$ módulo homotopía en $A$).
Ahora vemos $[\ell]_A$ dentro $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ a través del isomorfismo $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, y tenemos $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ porque en el límite se identifican los puntos antípodas, por lo que damos dos vueltas alrededor del círculo externo como $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (aquí las clases de equivalencia son de puntos en $S^1$).
Retrocediendo a $\pi_1(A,x_0)$ obtenemos $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ y concluimos.
Dejar $i:S^1\to D^2$ ser la inclusión del límite y $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ la proyección canónica.
En particular, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ factores a través de $\partial$ (y así a través de $A$, pero la inclusión $\partial \to A$es una equivalencia de homotopía); llamemos$\alpha :S^1\to\partial$ el mapa que obtenemos.
Lo sabemos $\partial \cong S^1$, entonces que mapa es $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?
Bueno, tienes el siguiente diagrama conmutativo:
$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$
donde el mapa $\partial \to P^2(\mathbb R)$es la inclusión. Si identificamos$\partial \cong S^1$, el mapa $S^1\to S^1$ es simple $z\mapsto z^2$: ese es un cálculo explícito que puede hacer. Quizás sea más fácil de definir$\partial$ de esa manera, y compruebe que obtiene lo mismo.
Creo que ese podría ser el punto principal que no le quedó claro, así que si aún no lo está, no dude en decírmelo.
En particular, $\alpha_*=$ multiplicación por $2$.
Pero también, $i$ es homotópico a la inclusión de $S^1$ en un círculo más pequeño en $D^2$, y por lo tanto $p\circ i$ es homotópico a un homeomorfismo $S^1\to S^1_{x_0}$.
Entonces tienes el siguiente diagrama conmutativo de homotopía:
$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$
Tomando $\pi_1$, ya que $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ es un isomorfismo y $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ es multiplicación por $2$, finalmente lo conseguimos $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ es multiplicación por $2$.
(técnicamente, es posible que tenga que preocuparse por los puntos base: hay al menos dos formas de lidiar con esto aquí: 1- tenga en cuenta que todos los grupos fundamentales involucrados son abelianos, por lo que no cambia nada; o 2- haga el mismo razonamiento pero con grupoides fundamentales, y al final arreglar las cosas)
La idea básica es la siguiente, creo que voy a realizar una prueba similar a la tuya, así que ten paciencia.
Como lo hizo, considere el plano proyectivo $X$ y toma un punto $x_0$en eso. Luego$U = X\smallsetminus x_0$ la deformación se retrae en la esfera.
Toma una bola pequeña $V$ alrededor $x_0$, así que eso $V\cap U$ también la deformación se retrae en una esfera.
Ahora para $V\cap U$, no habrá identificado ningún punto límite, pero en $U$, en la esfera límite, los identificará. Esto tiene la siguiente consecuencia de que puede formar un diagrama conmutativo
$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$
donde el mapa vertical es de grado $2$. Esencialmente, enviará un bucle de generación en$U\cap V$que se enrolla una vez alrededor del límite a uno que se enrolla dos veces alrededor del límite de$U$, ya que allí habrás identificado puntos antípodas.
Añadir. Si desea ser más preciso, tenga en cuenta que el ciclo de generación para$U$ puede tomarse como un bucle en el disco unitario que dibuja una media luna, desde $-1$ a $1$ en una línea casi recta sin el origen y luego a través del arco. Esto hace que sea fácil ver que el bucle generador para $U\cap V$ representará el doble del bucle anterior en $U$.