¿Podemos tener un movimiento caótico debido a la precisión finita de nuestros cálculos? [duplicar]

Nov 29 2020

Entiendo que el movimiento caótico significa que perturbaciones muy pequeñas en la condición inicial inicial pueden conducir a trayectorias muy diferentes en el espacio de fase. Por esta razón, nunca podemos predecir el movimiento con precisión, porque nunca podemos tener condiciones iniciales 100% precisas.

¿Podemos ver la incapacidad de predecir los estados futuros de una manera diferente, relacionada con la precisión de nuestros cálculos (realizados en una computadora)? ¿Hay situaciones en las que podemos conocer las condiciones iniciales con un 100% de precisión, pero aún así no podemos confiar en ninguno de los movimientos predichos, porque el movimiento depende de la precisión de los cálculos intermedios, que, al realizarse en una computadora, son finitos y, por lo tanto, no perfectamente? ¿preciso?

Por ejemplo, si tuviera que calcular una integral numérica como un paso hacia una respuesta final, si mi integral fuera computadora a 16 puntos flotantes vs 32 puntos flotantes de precisión, esto correspondería a una diferencia en el decimosexto dígito significativo, que entonces podría ser suficiente para inducir un comportamiento tremendamente diferente en las trayectorias posteriores.

Podríamos imaginar un caso en el que no importa qué tan precisos sean sus cálculos, una precisión adicional en los cálculos haría que la trayectoria divergiera caóticamente. ¿Se sabe que existe este fenómeno y hay ejemplos de él?

Respuestas

3 stafusa Nov 30 2020 at 05:14

La pregunta del título es un poco diferente a la del cuerpo de la publicación, así que veámoslas por separado:

  1. ¿Podemos tener un movimiento caótico debido a la precisión finita de nuestros cálculos?

Sí, el propio Lorenz describió el fenómeno, llamándolo caos computacional [Lorenz 1989]:

Cuando se buscan soluciones aproximadas de un conjunto de ecuaciones diferenciales mediante la integración numérica escalonada, la elección de un incremento de tiempo $\tau$ [...] pueden producir soluciones caóticas, incluso cuando las soluciones verdaderas se acercan a ciclos límite o puntos fijos.

  1. no puede confiar en ninguno de los movimientos previstos [?]

Al menos para los sistemas hiperbólicos en realidad sí, puedes confiar en ellos. Lo que te cubre es el llamado teorema de sombreado , que garantiza que, aunque de hecho no estás simulando la verdadera trayectoria de la condición inicial que elegiste, hay un punto inicial ligeramente diferente cuya trayectoria permanece arbitrariamente cerca de la generada por computadora. trayectoria. Compruebe también esta respuesta .

[Lorenz 1989] Caos computacional: un preludio de la inestabilidad computacional , Physica D 35 (3), 1989, páginas 299-317.

2 gandalf61 Nov 29 2020 at 23:52

Sí, es muy posible que los errores de redondeo debidos a la aritmética de precisión finita puedan afectar drásticamente el resultado de las simulaciones por computadora de sistemas no lineales. De hecho, uno de los pioneros de la teoría del caos moderna, Edward Lorenz , se inspiró para estudiar los sistemas caóticos cuando experimentó este problema. Lorenz estaba ejecutando una simulación meteorológica que incluía ecuaciones diferenciales no lineales en una de las primeras computadoras digitales. Cuando trató de reproducir un escenario ingresando valores iniciales con tres decimales de precisión, descubrió que la repetición divergía muy rápidamente de la salida original. Investigar la causa de este comportamiento sorprendente, que Lorenz describió más tarde como el efecto mariposa , condujo al descubrimiento del atractor de Lorenz .