¿Por qué cesa todo movimiento en un cuerpo rígido de una vez?
Estaba leyendo un libro que presentaba el problema:
Un jugador de hockey descontento lanza un palo de hockey sobre el hielo. Gira alrededor de su centro de masa a medida que se desliza y finalmente se detiene por la acción de la fricción. Su movimiento de rotación se detiene en el mismo momento en que su centro de masa se detiene, ni antes ni después. Explicar por qué.
Vi una pregunta similar en: ¿Por qué un palo de hockey sobre hielo, cuando se arroja sobre hielo, siempre gira y se traslada antes de detenerse? ¿Por qué no solo rotar o solo traducir? pero no me sentí satisfecho con la respuesta.
La pregunta estaba en el capítulo de energía, así que intenté resolverla con energía. Pensé que si la fuerza de fricción en el COM era F y viajaba una distancia s antes de detenerse, entonces podemos escribir la ecuación$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$donde el LHS representa la energía cinética inicial. También podríamos escribir una ecuación similar para la energía rotacional, pero no estoy seguro de qué hacer después de eso. ¿Es incluso razonable intentar probarlo rigurosamente o simplemente mediante el razonamiento?
Otra pregunta que surgió al pensar en esta pregunta fue ¿cómo mediría el par generado por la fricción ya que se distribuye a lo largo de la palanca, no solo en un punto?
Respuestas
Si el palo es una barra, que tiene contacto directo con el suelo en toda su longitud, la fuerza de fricción opuesta a la rotación sugiere modelarlo como 2 vigas en voladizo con carga uniformemente distribuida, fijadas en el COM. La carga de fricción se distribuye a lo largo de su longitud, dando como resultado un máx. par cerca de COM y cero en los extremos.
Entonces, para un área pequeña cerca de los extremos, el par total resulta solo de la carga en esta área: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ y la fuerza de fricción en el elemento es $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
El momento de la inercia $\delta I = \delta m r^2$ y $$\omega = \frac{v}{r}$$
Entonces, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
Si calculamos la fuerza para disminuir la velocidad de traslación promedio en la misma región: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
Bajo la misma aceleración, deben disminuir juntos. Si sucede por los extremos de la barra, todo el cuerpo dejará de girar y moverse linealmente al mismo tiempo para este modelo.
Pero si, por ejemplo, la parte central tiene contacto pero no los extremos, es perfectamente posible que la barra siga girando, después de detener su movimiento de traslación.
No creo que la afirmación sea correcta. En general, un objeto deslizante puede dejar de girar o trasladarse antes de que se detenga el otro movimiento. Puede que solo haya uno.
Por ejemplo, tome un disco uniforme. Gírelo y déjelo reposar sobre el hielo. Girará en su lugar durante un tiempo y se detendrá. Asimismo, deslícelo sin girar. Se deslizará hasta detenerse.
Como muestra la publicación que vinculó, un palo de hockey es especial. Tiene diferentes coeficientes de fricción en diferentes extremos. Eso puede hacer que gire si comienza a deslizarse. Pero no tiene por qué ser así. Deslícelo con el extremo de alta fricción hacia atrás, como disparar un arco y una flecha. Se deslizará hasta detenerse sin girar.
Si le da un poco de giro y mucha velocidad, la fricción puede orientarlo antes de que se detenga.
Después de leer las otras respuestas (+1 a ambas), concluí que mi intuición estaba equivocada. La rotación y la traducción se detienen al mismo tiempo.
Aquí hay un artículo que analiza el acoplamiento del movimiento de deslizamiento y giro con discos delgados, y por qué ambos movimientos se detienen al mismo tiempo. El artículo establece un modelo matemático e informa los resultados de experimentos con un CD sobre una superficie de nailon que prueban la teoría.
Edite en respuesta a los comentarios: El modelo matemático asume un disco plano con distribución de masa uniforme e ignora explícitamente los efectos de su altura finita (una fuerza normal no uniforme que conduce a trayectorias curvas). Los experimentos utilizan un CD como aproximación. Una peonza puede comportarse de manera diferente, aunque puedo observar que la punta de una peonza "deambula" a lo largo de la superficie como resultado de fuerzas (como la precesión, un soplo de aire o un desnivel en la superficie) que de lejos no serían suficientes para moverse. si no estuviera girando.
La razón subyacente de esta interacción entre girar y deslizarse es que la fricción dinámica es independiente de la velocidad del movimiento; solo depende de la fuerza normal (aquí la fuerza gravitacional) y de las constantes materiales. Su dirección en cada punto de la superficie se opone a la dirección de la velocidad de ese punto. Con un objeto deslizante de rotación rápida, todos los vectores de velocidad son casi completamente tangenciales porque la parte rotacional domina los vectores. La magnitud de los vectores es muy alta, pero irrelevante: la fuerza de fricción no depende de ella. En consecuencia, las fuerzas de fricción también son casi completamente tangenciales; en su mayoría se anulan entre sí con respecto al movimiento hacia adelante y ralentizan solo la rotación. 1
En efecto, el par de fricción (que ralentiza la rotación) es mayor que la fuerza de fricción lineal (que detiene el movimiento de avance) si la rotación es rápida en comparación con el movimiento de avance, y viceversa. Es por eso que el "más rápido" de los dos movimientos se frena más, hasta que se alinean y se detienen juntos. La siguiente figura (p. 2 del artículo) muestra esa interdependencia.$\epsilon$ es el cociente del movimiento hacia adelante y el movimiento angular, $v/R\omega$. Para un movimiento lineal pequeño pero una rotación rápida, el par de fricción domina (el lado izquierdo de la figura (a)), y para un movimiento lineal rápido con poca rotación, domina la fricción lineal (lado derecho de la figura):
1 Esto es algo inusual: a menudo "diseccionamos" velocidades o fuerzas en sus componentes y las consideramos individualmente, independientemente. En este caso, aunque la componente lateral influye en la fricción longitudinal porque cambia la dirección del vector, y viceversa: Porque la fricción en una dirección dada no depende de la magnitud de la componente vectorial en esa dirección. La magnitud de ese componente es constante, la fricción no lo es. Bastante contrario a la intuición.