¿Por qué el empuje hacia adelante de una gavilla invertible en BG a su esquema grueso no es invertible?
Mi pregunta realmente se refiere a un ejemplo específico. Dejar$G = \mu_2$ ser el grupo cíclico de orden 2. Sea $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, y deja $BG := [*/\mu_2]$ el cociente de la pila, donde $\mu_2$ actúa trivialmente en $*$. Dejar$\mathcal{O}_{BG}$ denotar la estructura gavilla, y dejar $L$ denotar la gavilla invertible en $BG$ correspondiente a la representación no trivial de $\mu_2$ en $\mathbb{C}$. Así,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$, y la acción de $\mu_2$ en $*\rightarrow BG$ induce la acción de inversión de $\mu_2$ en $\mathbb{C}$.
Dejar $c : BG\rightarrow *$denotar el mapa canónico a su esquema burdo. He escuchado que si$L$ denota la gavilla invertible en $BG$ dada por la representación no trivial de $\mu_2$ en $\mathbb{C}$, luego $c_*L$ no es invertible en $*$. Sin embargo, siguiendo las definiciones (ver más abajo), parece que$c_*L$ es de hecho invertible en $*$. ¿Dónde me he equivocado?
Según la definición de empujar hacia adelante, creo que las secciones globales de $c_*\mathcal{O}_{BG}$ debe ser igual al límite
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ donde el límite abarca todos los morfismos $f : *\rightarrow BG$ satisfactorio $c\circ f = \text{id}_*$. Dado que el grupo de automorfismo de$*\rightarrow BG$ actúa trivialmente en $\mathcal{O}_{BG}$, este es solo el límite del diagrama de dos objetos $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, que es solo la diagonal en $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Del mismo modo, las secciones globales de $c_*L$ debe ser el límite del diagrama de dos objetos $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, que es solo el conjunto de pares $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
La acción de $c_*\mathcal{O}_{BG}$ en $c_*L$ debe ser la acción de multiplicación por coordenadas del diagrama $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ en el diagrama $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Es decir, en las secciones globales, la acción$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ debería ser dado por $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Esto parece hacer$c_*L$ en una gavilla invertible en $*$, pero he oído que, de hecho, esto no es cierto. ¿Dónde me he equivocado?
Respuestas
El empujón $c_{\ast}L$ debe ser el límite del diagrama con un objeto "$\mathbb{C}$"y dos (auto) morfismos"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"y"$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; en otras palabras, es el ecualizador de $\mathrm{id}$ y multiplicación por ($-1$); así de hecho$c_{\ast}L = 0$.
Una afirmación más general es: bajo la correspondencia entre cuasi-coherente $\mathcal{O}_{BG}$-módulos y $G$-representaciones, el functor pushforward $c_{\ast}$ corresponde a la $G$-funtor de invariantes.
Si reemplazamos $\mathbb{C}$ por un campo de característica 2, entonces tendríamos que tener cuidado, en general cuasi-coherente $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-los módulos son $\mathbb{Z}/(2)$-representaciones y cuasi-coherentes $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-los módulos son $\mathbb{Z}/(2)$-espacios vectoriales graduados (el avance aquí corresponde a tomar el grado $0$ componente graduado).