¿Por qué esta secuencia no es uniformemente convergente?
En este problema se explica que $f_n(x)$es puntual convergente, pero no uniformemente convergente. También se da la explicación de por qué no es uniformemente convergente. Sin embargo, no puedo entenderlo, cuando utilizo el teorema siguiente obtengo ese límite de$f_n - f = 0$ ¿Podría alguien darme una respuesta más detallada por qué la secuencia es uniformemente convergente?


Respuestas
Ya que $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, tienes $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. En otras palabras,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$y, en particular, es no cierto que$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Entonces, la convergencia no es uniforme.
Primero, debe determinar el límite puntual . Dejar$x\in[0,1]$. por$n>1/x$, $f_n(x)=0$, entonces el límite puntual es $0$.
Como muestra la explicación, tenemos $\|f_n\|_\infty=n/4$. Así,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ y usando el teorema que citó, el límite de la divergencia suprema es equivalente a $f_n$ no convergiendo uniformemente.
Por definición de convergencia de una secuencia en un espacio normado (o en el espacio métrico general), la secuencia (fn) no puede converger af porque la norma (aquí es sup-norma) de (fn - f)> = 1/4 para todos norte.